圆的基本元素

第27章圆 27 1圆的认识 第1课时圆的基本元素 1 课堂讲解 圆的定义与圆有关的概念同圆的半径相等 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 我们已经学会将收集到的数据用扇形统计图加以描述 如图就是反映某学校学生上学方式的扇形统计图 我们是先用圆规画出一个圆 再将圆划分成一个个扇形来制作扇形统计图的 1 知识点 圆的定义 圆的定义 1 描述性定义 在一个平面内 线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周 另一个端点A所形成的图形叫做圆 其固定的端点O叫做圆心 线段OA叫做半径 2 集合观点定义 圆也可以看成是所有到定点 圆心 的距离等于定长 半径 的点的集合 知1 讲 知1 讲 要点精析 1 确定一个圆需要两个要素 一是圆心 二是半径 圆心定其位置 半径定其大小 2 圆是一条封闭的曲线 曲线是 圆周 而不能认为是 圆面 3 圆上的点 指圆周上的点 下列说法中 错误的有 1 经过点P的圆有无数个 2 以点P为圆心的圆有无数个 3 半径为3cm且经过点P的圆有无数个 4 以点P为圆心 3cm为半径的圆有无数个 A 1个B 2个C 3个D 4个 知1 讲 确定一个圆必须有两个条件 即圆心和半径 只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个 由此可知 1 2 正确 3 半径确定 但圆心不确定 仍有无数个圆 4 圆心和半径都确定的圆有且只有一个 唯一 导引 例1 A 总结 知1 讲 1 圆的两种定义 其确定圆的条件都是相同的 即圆心和半径 两者缺一不可 2 点在圆上 和 圆过点 表示的意义都是 这个点在圆周上 3 圆将平面划分为三部分 圆上 圆内 圆外 特别提醒 圆是 圆周 而非 圆面 下列关于圆的叙述中正确的是 A 圆是由圆心唯一确定的B 圆是一条封闭的曲线C 到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆D 圆内任意一点到圆心的距离都相等平面内已知点P 以P为圆心 3cm为半径作圆 这样的圆可以作 A 1个B 2个C 3个D 无数个 知1 练 2 在平面直角坐标系中 O的圆心在原点 半径为2 则下面各点在 O上的是 A 1 1 B 1 C 2 1 D 2 知1 练 2 知识点 与圆有关的概念 知2 讲 1 与圆有关的概念 1 弦与直径 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦 如图中的CD和AB 直径 经过圆心的弦叫做直径 如图中的AB 且直径等于半径 OA OB 的2倍 直径是圆中最长的弦 注意 弦与直径间的关系 直径是过圆心的弦 因此直径是弦 但弦不一定是直径 在提到 弦 时 如果没有特别说明 不要忘记直径这种特殊的弦 知2 讲 2 弧 半圆 优弧 劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 小于半圆周的弧叫做劣弧 如图中的 大于半圆周的弧叫做优弧 如图中的 劣弧用 和弧两端的字母表示 优弧用 和三个字母 弧两端的字母和弧中间的任一字母 表示 弧分为优弧 半圆 劣弧 注意 半圆是弧 但弧不一定是半圆 知2 讲 3 等圆与等弧 能够重合的两个圆叫做等圆 所以半径相等的两个圆是等圆 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 4 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 2 弦与弧之间的关系 1 弦是圆上两点间的线段 有无数条 弧是圆上两点间的部分 弧是曲线 弧也有无数条 2 每条弧对一条弦 而每条弦所对的弧有两条 优弧 劣弧或两个半圆 知2 讲 3 易错警示 1 只有同圆或等圆中才可能有等弧 等弧长度一定相等 但长度相等的弧不一定是等弧 弧不仅有长度 还有度数 规定半圆的度数为180 劣弧的度数小于180 优弧的度数大于180 2 半径不变 圆心变产生等圆 圆心不变 半径变产生同心圆 知2 讲 易错题 以下命题 1 半圆是弧 但弧不一定是半圆 2 过圆上任意一点只能作一条弦 且这条弦是直径 3 弦是直径 4 直径是圆中最长的弦 5 直径不是弦 6 优弧大于劣弧 7 以O为圆心可以画无数个圆 正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 例2 C 知2 讲 1 半圆是弧的一种 弧可以分为劣弧 半圆 优弧三种 故正确 2 过圆上任意一点可以作无数条弦 故错误 3 直径是过圆心的特殊弦 但弦不一定是直径 故错误 4 圆有无数条弦 过圆心的弦最长 即直径是圆中最长的弦 故正确 5 直径是圆中最长的弦 故错误 6 在同圆或等圆中 优弧大于劣弧 故错误 7 以一个点为圆心 若不指明半径 可画出无数个大小不等的同心圆 故正确 导引 总结 知2 讲 1 本题主要考查圆的有关概念 深刻理解圆中弦 弧 直径的概念是克服误判的关键 2 弧只有在同圆或等圆中才能比较大小 在判断两条弧是否是等弧时 首先要看两条弧所在的圆是否为同圆或等圆 知2 讲 如图所示 已知 O上有A B C三个点 以其中两个点为端点的弧共有 条 弦共有 条 例3 由弧的概念知以A B C中任意两个点为端点的弧有共6条 由弦的概念知以A B C中任意两个点为端点的弦有AB BC AC 共3条 导引 6 3 总结 知2 讲 圆上的任意两点分圆为两条弧 一条优弧 一条劣弧或两个半圆 本题容易忽视圆中的优弧而造成得到3条弧的错误答案 在同圆中每段弧对应一条弦 而每条弦对应两条弧 一条优弧 一条劣弧或两个半圆 下列说法中 正确的是 弦是直径 半圆是弧 过圆心的线段是直径 半圆是最长的弧 直径是圆中最长的弦 A B C D 知2 练 知2 练 如图 点A B C在 O上 点O在线段AC上 点D在线段AB上 下列说法正确的是 A 线段AB AC CD OB都是弦B 与线段OB相等的线段有OA OC CDC 图中的优弧有2条D AC是弦 AC又是 O的直径 所以弦是直径 知2 练 下列说法中 错误的是 A 直径相等的两个圆是等圆B 长度相等的两条弧是等弧C 圆中最长的弦是直径D 一条弦把圆分成两条弧 这两条弧可能相等 知3 讲 3 知识点 同圆的半径相等 圆的特性 1 圆上各点到定点 圆心O 的距离都等于定长 半径r 即同圆的半径相等 2 到定点O的距离等于定长r的点都在同一个圆上 即到圆心的距离等于半径的点在圆上 如图 在 O中 OA OB是半径 C D为OA OB上的两点 且AC BD 求证 AD BC 知3 讲 例4 要证AD BC 需证其所在的三角形全等 即需证 ADO BCO 知3 讲 证明 导引 OA OB是半径 OA OB 又 AC BD OC OD 在 ADO和 BCO中 ADO BCO AD BC 总结 知3 讲 1 本例中的OA OB 即 圆的半径相等 在以后的证明中 可直接应用 2 同圆的半径相等 在证明圆中线段相等时有着广泛应用 应熟练掌握 知3 练 如图 点A D G M在半圆O上 四边形ABOC 四边形OFDE 四边形HMNO