垂径定理的推论.doc

垂径定理的推论崇明县实验中学 郭洪星【教学目标】1掌握平分弦（非直径）的直径、平分弧的直径、弦的垂直平分线、平分弦和它所对弧的直线以及垂直于弦并且平分弦所对的弧的直线的性质。2在猜测、验证垂径定理推论的过程中，加深领会数形结合思想和分类讨论思想。3在归纳垂径定理推论的过程中，提高数学语言的表达能力。【教学重点难点】重点：垂径定理的推论难点：证明垂径定理的推论、用文字语言归纳垂径定理的推论【教学过程】一、 复习垂径定理垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。AD=BDCD是O的直径，CDAB，垂足为点M，AM=BM，C提问：垂径定理的逆命题是什么？逆命题是否是真命题？CDABOMOMBAD图2图1二、垂径定理的推论（一）垂径定理的逆定理AD=BD如图2，在O中，弦CD与弦AB交于点M。如果AM=BM， ，那么CD与AB垂直吗？CD是直径吗？AD=BD证明：联结AD、BDAD=BDAM=BMDMAB即CDABCD垂直平分AB，因此CD一定经过圆心O。垂径定理的推论 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。（二）垂直于弦的直径的其他性质提问：前面我们学习了圆心角、弧、弦、弦的弦心距之间关系的定理及推论，在这个定理及推论中，我们研究圆的“圆心角、弧、弦、弦的弦心距”这四组量，并且知道在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。今天，我们研究圆的“圆的直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的弧”这四组关系，并且已经得到垂径定理及其逆定理这两条性质。类比圆心角、弧、弦、弦的弦心距之间关系的定理及推论，你认为垂径定理是否还存在其他的推论？学生独立思考后，小组交流各自的结论。教师巡视、参与学生小组讨论，并把学生小组讨论后形成的结论呈现在黑板上。结论可分两大类：AD=BD第一类：“CD是O的直径”作为题设，有：AD=BD1、如果CD是O的直径，AM=BM，那么CDAB， 2、如果CD是O的直径， ，那么AM=BM，CDAB。AD=BD第二类：“CD是O的直径”作为结论，有：AD=BD3、如果AM=BM，CDAB，那么CD过点O， 。4、如果CDAB， ，那么CD过点O，AM=BM。结论的证明由学生完成，教师适度参与点拨。对第一条性质，要指明弦AB不是直径。（三）归纳垂径定理的推论1、如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。2、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。3、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。4、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。三、垂径定理及其推论的应用判断题1、平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦。（ ）2、垂直于弦的直线平分这条弦。（ ）3、一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线平分这条弦所对的弧。（ ）4、不与直径垂直的弦不能被该直径平分。（ ）四、课堂小结1、在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果