班组长管理_直线与圆的位置关系之切线长定理

直线与圆的位置关系之切线长定理 蓬莱大辛店中学徐岩 O A L 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 几何应用 L是 O的切线 OA L 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何应用 2 与半径垂直 1 经过半径的外端 切线的判定定理 C 练习1 已知 AB是弦 AD是切线 判断 DAC与圆周 ABC之间的关系并证明 在经过圆外一点的切线上 这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 O P A B 切线与切线长的区别与联系 1 切线是一条与圆相切的直线 不可以度量 2 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长 可以度量 切线长概念 若从 O外的一点引两条切线PA PB 切点分别是A B 连结OA OB OP 你能发现什么结论 并证明你所发现的结论 PA PB OPA OPB 证明 PA PB与 O相切 点A B是切点 OA PA OB PB即 OAP OBP 90 OA OB OP OP Rt AOP Rt BOP HL PA PB OPA OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 几何语言 反思 切线长定理为证明线段相等 角相等提供了新的方法 我们学过的切线 常有五个性质 1 切线和圆只有一个公共点 2 切线和圆心的距离等于圆的半径 3 切线垂直于过切点的半径 4 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 5 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 六个 A P O B 若连结两切点A B AB交OP于点M 你又能得出什么新的结论 并给出证明 OP垂直平分AB 证明 PA PB是 O的切线 点A B是切点 PA PB OPA OPB PAB是等腰三角形 PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB A P O B 若延长PO交 O于点C 连结CA CB 你又能得出什么新的结论 并给出证明 CA CB 证明 PA PB是 O的切线 点A B是切点 PA PB OPA OPB PC PC PCA PCB AC BC C 例 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交于 O于点D E 交AB于C B A P O C E D 1 写出图中所有的垂直关系 OA PA OB PB AB OP 3 写出图中所有的全等三角形 AOP BOP AOC BOC ACP BCP 4 写出图中所有的等腰三角形 ABP AOB 5 若PA 4 PD 2 求半径OA 2 写出图中与 OAC相等的角 OAC OBC APC BPC P B A O 3 连结圆心和圆外一点 2 连结两切点 1 分别连结圆心和切点 反思 在解决有关圆的切线长问题时 往往需要我们构建基本图形 1 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 小结 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等 角相等 弧相等 垂直关系提供了理论依据 必须掌握并能灵活应用 2 圆的外切四边形的两组对边的和相等 例 如图 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 8cm BC 13cm CA 12cm 求AF BD CE的长 x 12 x x 12 x 8 x 8 x 例题选讲 例 如图 ABC中 C 90 它的内切圆O分别与边AB BC CA相切于点D E F 且BD 12 AD 8 求 O的半径r 例 如图所示PA PB分别切圆O于A B 并与圆O的切线分别相交于C D 已知PA 7cm 1 求 PCD的周长 2 如果 P 46 求 COD的度数 E 1 如图 ABC中 ABC 50 ACB 75 点O是 ABC的内心 求 BOC的度数 随堂训练 变式 ABC中 A 40 点O是 ABC的内心 求 BOC的度数 BOC 90 A 2 ABC的内切圆半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积 提示 设内心为O 连接OA OB OC O A C B r r r 知识拓展 若 ABC的内切圆半径为r 周长为l 则S ABC lr o o o 外切圆圆心 三角形三边垂直平分线的交点 外切圆的半径 交点到三角形任意一个定点的距离 三角形外接圆 三角形内切圆 内切圆圆心 三角形三个内角平分线的交点 内切圆的半径 交点到三角形任意一边的垂直距离 A B C o 明确 1 一个三角形有且只有一个内切圆 2 一个圆有无数个外切三角形 3 三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点 4 三角形的内心到三角形三边的距离相等 1 如图 四边形ABCD的边AB BC CD DA和圆 O分别相切于点L M N P 求证 AD BC AB CD 证明 由切线长定理得 AL AP LB MB NC MC DN DP AL LB NC DN AP MB MC DP 即AB CD AD BC 补充 圆的外切四边形的两组对边的和相等 提高题 2 如图 AB是 O的直径 AD DC BC是切线 点A E B为切点 若BC 9 AD 4 求OE的长 B D E F O C A 1 如图 ABC的内切圆的半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积S 解 设 ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OA OB OC OD OE OF 则OD AB OE BC OF AC S ABC S AOB S BOC S AOC AB OD BC OE AC OF l r 设 ABC的三边为a b c 面积为S 则 ABC的内切圆的半径r 结论 有关圆的计算问题 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC a AC b AB c O为Rt ABC的内切圆 求 Rt ABC的内切圆的半径r 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 结论 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC 3 AC 4 O为Rt ABC的内切圆 1 求Rt ABC的内切圆的半径 2 若移动点O的位置 使 O保持与 ABC的边AC BC都相切 求 O的半径r的取值范围 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 1 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 解得 r 1 在Rt ABC中 BC 3 AC 4 AB 5 由已知可得四边形ODCE为正方形 CD CE OD Rt ABC的内切圆的半径为1 2 如图所示 设与BC AC相切的最大圆与BC AC的切点分别为B D 连结OB OD 则四边形BODC为正方形 A B O D C OB BC 3 半径r的取值范围为0 r 3 点评 几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法 基础题 1 既有外接圆 又内切圆的平行四边形是 2 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 3 O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆 EF切 O于P点 交AB BC于E F 则 BEF的周长是 E F H G 正方形 22cm 2cm 同学们要好好学习老师期盼你们快快进步 切线长定理拓展 回顾反思 1 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 回顾反思 2 三角形的内切圆 内心 内心的性质 知识拓展 拓展一 直角三角形的外接圆与内切圆 1 直角三角形外接圆的圆心 外心 在 半径为 2 直角三角形内切圆的圆心 内心 在 半径r a b c 斜边中点 斜边的一半 三角形内部 知识拓展 3 已知 如图 PA PB是 O的切线 切点分别是A B Q为 O上一点 过Q点作 O的切线 交PA PB于E F点 已知PA 12cm P 70 求 PEF的周长和 EOF的大小 知识拓展 4 Rt ABC中 C 90 a 3 b 4 则内切圆的半径是 1 5 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 22cm 知识小结 直角三角形的外接圆与内切圆 1 直角三角形外接圆的圆心 外心 在 半径为 2 直角三角形内切圆的圆心 内