第二类切比雪夫多项式三阶递推公式的混合稳定性

第二类切比雪夫多项式三阶递推公式的混合稳定性本文对第二类切比雪夫多项式的三项递推公式在区间-1,1上进行误差分析。结果可以证明，对于一个有微小扰动的值，的计算值与真实值是十分接近的，且第二类切比雪夫多项式的三项递推公式是向前向后混合稳定的。有两类切比雪夫多项式，第一类通常以表示，第二类以表示。第二类切比雪夫多项式可以由如下递推关系给出：；。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要应用。在数值分析中，数值稳定性是一种希望得到的数值算法特性。在使用计算机进行数值运算时，可能会产生误差，误差的来源主要有舍入误差、截断误差等。因此一个好的算法应该是数值稳定的，也就是说，即使原始数据有微小的扰动，用数值方法运算所得的结果与问题的真实值应该十分接近。而混合稳定性就描述了这种数值稳定性。已知第一类切比雪夫多项式的三项递推公式是向前向后稳定的2。本文中将进一步证明第二类多项式的三项递推公式的向前向后混合稳定性。下面给出有关该问题的相关定义。定义一 算法被称为是向前向后混合稳定的，如果利用算法进行数值运算后所得的值N(x)与真实值UN(x)之间的关系满足：,(1)其中，表示机器精度；L=L(N)是一个关于N的函数。为简单起见，在接下来的文章中将忽略O(M2)。若想证明第二类切比雪夫多项式的向前向后稳定性，只需证明它是数值稳定的2，即，若要证明(1)式，只需要证明：（2） 在接下来的文章中，第二部分将引入一些有关切比雪夫多项式的性质；第三部分将对第二类切比雪夫多项式进行误差分析；第四部分会利用第二部分的一些性质讨论条件数的取值范围；第五部分根据前面所得出的结论给出关于第二类切比雪夫多项式混合稳定性的证明。2.切比雪夫多项式的性质1. 切比雪夫多项式有多种定义的方式，在文章开头介绍了第二类切比雪夫多项式三阶递推公式的定义方式，下面分别是第一类切比雪夫多项式的三阶递推公式和两类多项式的三角函数定义：（3）其中，且。2. 两类切比雪夫多项式的关系为：（4）（5）3. 切比雪夫多项式满足如下微分方程：（6） 或（7）以及，（8）4. 切比雪夫多项式的上界为：当，且时，（9）当，（10）当，且时，（11）5. 第二类切比雪夫多项式的根为:（12）3.误差分析定理一 设n(x)表示由第二类切比雪夫多项式三阶递推公式求得的值，机器精度为。假设2x可以由浮点运算fl精确表示，即，且。那么，（13） 其中，（14）证明： 因为，对于有，（15） 将(17)式展开再化简得，（16）（17） 再令，则，。进一步可以发现， 由数学归纳法可以得到，（18） 又因为(17)式中，所以，（19） 将(19)式代入(18)式即可得到(13)、(14)式。定理一得证。 下面要做的是找的上界。定理二 设定义为(14)式，则(i) 当时，；(ii) 当；(iii) 当n为奇数，且时,。证明：(i) 当时，根据(9)式，定理的第一部分得证。(ii) 当时，根据(10)式，定理第二部分得证。(iii) 首先将由(10)式可知，将又因为当时，所以，定理最后一个部分得证。4.讨论的取值范围设。因为对任意x都成立，因此是偶函数。若考虑在定义域上的取值范围，只需要考虑区间0,1)时由图4.1和图4.2可以推测，当n为偶数时；当n为奇数时，。图一 图二 定理三 设n为自然数，当时，其中,那么， 证明：由(3)式、(4)式，且可得 所以， , 移项后两边同时乘以x得， 综上，再根据(5)式，有， 所以，当引理三得证。定理四 当(i) 对所有的自然数n，有；(ii) 当n为偶数时，有。证明：(i) 因为，所以。所以因此，引理第一部分得证。(ii)首先可以证明，在(0,)中至多有一个根。设因为恒成立，且因此，。令因此，又因为是靠近0的第二个根，所以在(0,)中至多有一个根，且为。下面将x的取值分为两种情况讨论。情况一：当时，可知在该区间不变号。当m为奇数时，因此，,再根据(9)式可知。同理，当m为偶数时，。综上，在区间(0,)上是单调递增的，所以。情况二：当时， 同理可以发现，当在接近其第二个根的一个区间内是逐渐递减的，因此在区间(,)内的变化情况可能有三种：逐渐递增、先增后减和逐渐递减。若是逐渐递增的情况，显然。倘若是后两种情况，应在处取得极小值，因此仍然成立。综合上述两种情况，当n为偶数时，在恒成立，定理第二部分得证。5.第二类切比雪夫多项式的混合稳定性定理五 第二类切比雪夫多项式是向前向后混合稳定的。证明：根据引理以及定理一到定理四可得，对任意自然数,当时， 当时，当n为奇数，且时，那么综上所述，第二类切比雪夫多项式是向前向后混合稳定的。6.数值检验用MATLAB软件进行相对误差的数值检验，检验结果如表6.1所示。软件的机器精度为。相对误差的计算公式为：，其中精确值用计算结果精确到小数点后16位表示，用计算结果精确到小数点后5位表示。检验结果符合上述所得出的结论，即随着N的不断增大，相对误差是比较稳定的。表6.1 相对误差N10102103104105106RN(0.1)74.1849.