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双曲线及其标准方程 冷却塔 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2 定义中 绝对值 三个字去掉后点的轨迹是什么 一 双曲线的定义 定义剖析 新课讲授 通常情况下 我们把 F1F2 记为 常数记为 小于 F1F2 显然 点的轨迹是双曲线的一支 1 注意 平面内 三个字 轨迹为直线F1F2上且以F1 F2为端点向外的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 3 常数是否有范围限制 新课讲授 若常数等于 F1F2 则轨迹是什么 若常数大于 F1F2 则轨迹是什么 若常数等于0 则轨迹是什么 在不满足这一条件的情况下 点的轨迹会是什么 小于 F1F2 二 双曲线的标准方程 建系 设点 设是双曲线上任一点 焦距为 那么焦点再设 MF1 与 MF2 的差的绝对值等于常数 写出限制条件 新课讲授 以直线为轴 线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系 代入数据 列出等式 将上述方程化为 化简 整理得 由双曲线定义知 即 两边同时除以得 其中 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在轴上 焦点是 类比焦点在x轴上的双曲线的标准方程 请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 如何判断双曲线的焦点所在轴 焦点在系数为正数的轴上 因此 双曲线的标准方程为 例1 已知双曲线的焦点F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 根据已知条件 F1F2 10 PF1 PF2 8 例题讲解 解 因为双曲线的焦点在轴上 所以设它的标准方程为 故 那么 变式训练2 已知F1 5 0 F2 5 0 动点P满足 PF1 PF2 8 求点P的轨迹方程 例1 已知双曲线的焦点F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 变式训练3 已知F1 5 0 F2 5 0 动点P满足 PF1 PF2 10 求点P的轨迹方程 变式训练1 已知F1 0 5 F2 0 5 动点P满足 PF1 PF2 8 求点P的轨迹方程 例题讲解 例2 已知双曲线的焦点是 且经过点M 2 5 求双曲线的标准方程 解法一 又因为双曲线经过点M 2 5 方程联立可求得 因此 双曲线的标准方程为 由题意知 由题意知 双曲线的焦点在轴上 所以设双曲线的标准方程为 例题讲解 例2 已知双曲线的焦点是 且经过点M 2 5 求双曲线的标准方程 解法二 由双曲线的定义知 双曲线的标准方程是 双曲线的焦点在轴上 例题讲解 课堂练习 1 已知双曲线的焦点在坐标轴上 a 7 b 3
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