高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性练习（含解析）.docx

第3讲 函数的奇偶性【套路秘籍】-千里之行始于足下函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)(1x) ； (2)f(x)(3)f(x). （4）f(x)；【答案】见解析【解析】(1)当且仅当0时函数有意义，所以1x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0，f(x)x22x1f(x)所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数(3)解法一：因为2x2且x0，所以函数的定义域关于原点对称所以f(x)，又f(x)，所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数解法二：求得函数f(x)的定义域为2,0)(0,2化简函数f(x)，可得f(x)，由y1x是奇函数，y2是偶函数，可得f(x)为奇函数（4）由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.【套路总结】一、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立2、 判断函数奇偶性的方法1定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：1(f(x)0)判断函数的奇偶性2图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性3验证法：即判断f(x)f(x)是否为0.4性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)【答案】见解析【解析】(1)由得x236，解得x6，即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0时，x0时f(x)=2x-1x，则f(-1)=_【答案】-1【解析】函数fx是奇函数，f-1=-f1=-2-1=-1，故答案为：-12.已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数. 当x(-,0)时，f(x)=x-x4，则当x(0,+)时，f(x)=_.【答案】-x-x4【解析】设x（0，+），则x（，0），当x（，0）时，f（x）xx4，f（x）xx4，又f（x）是定义在（，+）上的偶函数，f（x）f（x）xx4，故答案为：-x-x43已知fx是偶函数，当x0时，fx=。【答案】x(x-1)【解析】设x0，则-x0时，f(x)x2ax1a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是_（4）已知函数fx=x3+ax2+x是定义在-1+b,2b+7上的奇函数，则a+b=_.【答案】（1）2 （2）1 （3）1,0 （4）-2【解析】（1）解法一：函数的定义域为x|x0，f(x)xa2.因函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，即xa2x(a2)，则a2(a2)，即a20，则a2.解法二：由题意知f(1)f(1)，即3(a1)a1，得a2，将a2代入f(x)的解析式，得f(x)，经检验，对任意x(，0)(0，)，都满足f(x)f(x)，故a2.（2）f(x)f(x)，xln(x)xln(x)，ln()2x20.ln a0，a1.(3)因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且1a0，此时即即1a0.（4）由题意得，a=0-1+b+2b+7=0，解得a=0b=-2，a+b=-2.故答案为：-2【举一反三】1.若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.【答案】【解析】函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0恒成立，所以a.2若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（kR）为偶函数，则k的值为_【答案】-1【解析】根据题意，函数f(x)=log3(9x+1)+kx（kR）为偶函数，则有f（x）f（x），即log3（9x+1）+kxlog3（9x+1）+k（x），变形可得：2kxlog3（9x+1）log3（9x+1）2x，则有k1；故答案为：13已知fx=a-1x3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数，则a+b等于_【答案】0【解析】根据题意，已知f（x）=（a-1）x3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数，有b+2+b=0，解可得b=-1，则f（x）=（a-1）x3-x2，若f（x）为-1，1上的偶函数，则有f（-x）=f（x），即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得：a=1，则a+b=0；故答案为：0考向五单调性与奇偶性综合运用【例4】 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2x1)成立的x的取值范围为_（3）已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数，则不等式(x-2)f(x)0的解集为。【答案】（1）(e2，e2) （2）（3）(-2,2)(2,+)【解析】（1）根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(ln x)f(2)|ln x|2，即2ln x2，解得e2xf(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以符合题意的x的取值范围为.（3）函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数，a+2=0，得a=-2，f(x)=-2x2+4，不等式(x-2)f(x)0可转化为x-20或x-20f(x)0，即x0或x2-2x2+40，解得-2x2.综上，原不等式的解集为(-2,2)(2,+).【套路总结】函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数【举一反三】1已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，则不等式f(log2x)2的解集为_【答案】(2，)【解析】f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.2已知函数f(x)sin xx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_【答案】【解析】易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，m2,2，此时，只需即可，解得2x.3函数f(x)是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f(-3)=0，则不等式xf(x)0的解集为。【答案】（-3,0）（0,3）【解析】f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）在（，0）上也是增函数，由f（-3）0，得f（3）f（3）0，即f（3）0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xfx0fx0或x0解得0x3或3x0，xf（x）0的解集为：（3，0）（0，3）.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cos x【答案】B【解析】函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于()A3 B C. D3【答案】A【解析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay Byx Cy2x Dyxex【答案】D【解析】易知y与y2x是偶函数，yx是奇函数故选D.4已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)ln x，则f 的值为_【答案】ln 2【解析】由已知可得f ln 2，所以f f(2)又因为f(x)是奇函数，所以f f(2)f(2)ln 2. 5已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是_(填序号)yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.【答案】【解析】由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知正确6已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)_.【答案】3【解析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.7函数f(x)为_函数(填“奇”或“偶”)【答案】奇【解析】f(x)的定义域为R(关于原点对称)(1)当x0时，x0，f(x)f(0)0，f(x)f(0)0，f(x)f(x)；(2)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)；(3)当x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)由(1)(2)(3)可知，当xR时，都有f(x)f(x)，f(x)为奇函数8已知f（x）是R上的偶函数，且当x0时f（x）=x（1-x），则当x0时f（x）的解析式是f（x）=。【答案】-x(x+1)【解析】f（x）是R上的偶函数；f（-x）=f（x）；设x0，-x0，则：f（-x）=-x（1+x）=f（x）；x0时f（x）的解析式是f（x）=-x（1+x）9已知f(x+1)为定义在R上的奇函数，且当x1时，f(x)=lnx+m，则实数m=。【答案】0【解析】因为f(x+1)为定义在R上的奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0，f(1)=-f(1),即f(1)=0,又当x1时，f(x)=lnx+m，所以ln1+m=0，m=0.10若函数f(x)=x22x-2a-x是奇函数，则f(a-1)=。【答案】-23【解析】由f(-x)=-f(x)得2a(2x+2-x)=2x+2-x，a=0，f(a-1)=f(-1)=-23，11已知函数f(x)=ex ,令a=f(sin34),b=f(2-3),c=f(log123)，则a,b,c的大小关系为。【答案】bac【解析】fx定义域为R且f-x=e-x=ex=fxfx为R上的偶函数当x0时，fx=ex，则fx在0,+上单调递增a=fsin34=f22=f428；b=f2-3=f18；c=flog123=f-log23=flog230184281f428f18，即cab12已知函数fx=1-22x+1，当x0时，不等式fax2+x+f1-ex0恒成立，则实数a的取值范围是。【答案】(-,12【解析】易知fx=1-22x+1单调递增，fx=1-22x+1=2x-12x+1，则f-x=2-x-12-x+1=1-2x2x+1=-fx，故fx为奇函数，当x0时，不等式fax2+x+f1-ex0恒成立等价为fax2+x-f1-ex即fax2+xfex-1恒成立，故ax2+xex-1在x0时恒成立当x=0时，00恒成立，aR当x0时，aex-1-xx2,设gx=ex-1-xx2,则gx=x+2+exx-2x3设hx= x+2+exx-2,hx=exx-1+1,hx=xex0,则hx单增，又h1=0，则当0x1,hx1,hx0,故hxh1=0，即gx0，故gx单调递增，当x0,gx12,故a12，综上a1213已知f(x)是定义在2b,1-b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x-1)f(2x)的解集为。【答案】-1,13【解析】fx是定义在2b，1-b上的偶函数，2b+1-b=0，b=-1，fx在2b，0上为增函数，函数fx在-2，0上为增函数，故函数fx在0，2上为减函数，则由fx-1f2x，可得x-12x，即x-124x2，求得-1x13因为定义域为-2,2，所以-2x-12-22x2，解得-1x3-1x1综上，-1x1314已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，不等式fx0时，f(x)log2x.(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)12 .【答案】（1）f(x)=log2x(x0)0(x=0)-log2(-x)(x0)0x=0-log2-x(x0)（2）由（1）得不等式f(x)12可化为x0时，log2x12，解得0x2x0时，012，满足条件，x0时，-log2-x12，解得x-22，综上所述原不等式的解集为-,-220,2.20.已知函数f(x)ax2，