【三维设计】高考数学大一轮复习讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第三章 三角函数、解三角形 理 苏教版(1).DOC

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|k360，kz2弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度；弧长公式：l|r；扇形面积公式：s扇形lr和|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段mp，om，at分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线1易混概念：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2利用180 rad进行互化时，易出现度量单位的混用3三角函数的定义中，当p(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .试一试1若k18045(kz)，则是第_象限角答案： 一或三2已知角的终边经过点(，1)，则sin _.答案： 1三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想练一练若sin 0，则是第_象限角解析：由sin 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限答案： 三考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有_个解析：是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确答案：32终边在直线yx上的角的集合为_解析：终边在直线yx上的角的集合为|k，kz答案：|k，kz3在7200范围内找出所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kz)，则令72045k3600，得765k36045，解得k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.答案：(2,34在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 01012，与2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.答案：5(2014南京期末)已知角 的终边经过点p (x，6)，且tan ，则x的值为_解析：由三角函数的定义知 tan ，于是，解得x10.答案：106(2014扬州质检)已知sin ，且，则tan _.解析：因为 sin ，且，所以 cos 从而tan .答案：课下提升考能第组：全员必做题1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是_解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.答案：2已知cos tan 0，那么角是第_象限角解析：易知sin 0；cos(2 200)cos(40)cos 400；tan(10)tan(310)0，tan0.答案：6在直角坐标系中，o是原点，a(，1)，将点a绕o逆时针旋转90到b点，则b点坐标为_解析：依题意知oaob2，aox30，box120，设点b坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即b(1，)答案：(1，)7.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，角的终边与单位圆交于点a，点a的纵坐标为，则cos _.解析：因为a点纵坐标ya，且a点在第二象限，又因为圆o为单位圆，所以a点横坐标xa，由三角函数的定义可得cos .答案：8设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角解析：由是第三象限角，知2k2k(kz)，kk(kz)，知是第二或第四象限角，再由sin知sin0，所以只能是第四象限角答案：四9一个扇形oab的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长ab.解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过o作ohab于h.则aoh1弧度ah1sin 1sin 1(cm)，ab2sin 1(cm)10已知sin 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tansincos的符号解：(1)由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由(2k1)2k，得kk，kz，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan0，cos0，所以tansincos取正号；当在第四象限时，tan0，sin0，所以tansincos也取正号因此，tansincos取正号第组：重点选做题1满足cos 的角的集合为_解析：作直线x交单位圆于c、d两点，连接oc、od，则oc与od围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案：2如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点p的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析：如图，连接ap，分别过p，a作pc，ab垂直x轴于c，b点，过a作adpc于d点由题意知的长为2.圆的半径为1，bap2，故dap2.dpapsincos 2，pc1cos 2，daapcossin 2.oc2sin 2.故(2sin 2,1cos 2)答案：(2sin 2,1cos 2)第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21(r)(2)商数关系：tan .2六组诱导公式角函数2k(kz)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_对于角“”(kz)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”1在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号2注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化试一试1(2013全国大纲卷改编)已知是第二象限角，sin ，则cos _.解析：因为是第二象限角，所以cos .答案：2计算：cos_.答案：1诱导公式的应用原则负化正，大化小，化到锐角为终了2三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.练一练1(2014南京模拟)已知函数f(x)2sin(2x)若f ，则f_.解析：因为f(x)2sin(2x2)2sin(2x)f(x)，所以函数f(x)的周期为，所以fff .答案：2(2013芜湖调研)若sin cos ，则tan 的值是_解析：tan 2.答案：2考点一三角函数的诱导公式1.sin 600tan 240的值等于_解析：sin 600tan 240sin(720120)tan(18060)sin 120tan 60.答案：2已知tan，则tan_.解析：tantantantan.答案：3化简：_.解析：原式1.答案：14已知a(kz)，则a的值构成的集合是_解析：当k为偶数时，a2；k为奇数时，a2.答案：2，2备课札记 类题通法诱导公式应用的步骤提醒：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号考点二同角三角函数的基本关系典例已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值解(1)联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，tan .(2)tan ，.备课札记 保持本例条件不变，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值.解：由例题可知：tan .(1).(2)sin22sin cos .类题通法1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.针对训练已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .解：sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2.由得：9cos24cos2.由得sin29cos24.又sin2cos21，cos2，cos .考点三诱导公式在三角形中的应用典例在abc中，若sin(2a)sin(b)，cos acos (b)，求abc的三个内角解由已知得sin asin b，cos acos b两式平方相加得2cos2a1，即cos a或cos a.(1)当cos a时，cos b，又角a、b是三角形的内角，a，b，c(ab).(2)当cos a时，cos b，又角a、b是三角形的内角，a，b，不合题意综上知，a，b，c.备课札记 类题通法1诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：abc,2a2b22c，等，于是可得sin(ab)sin c，cossin 等；2求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小针对训练在abc中，sin acos a，cos acos(b)，求abc的三个内角解：sin acos a，12sin acos a2，sin2a1.a为abc的内角，2a，a.cos acos(b)，coscos b，cos b.0b，b.abc，c.a，b，c.课堂练通考点1(2013苏州期中)已知tan 2，则_.解析：，又 tan 2，得2.答案：22(2014镇江统考)已知为第四象限角，且 sin()，则tan _.解析：由 sin()得 sin .因为在第四象限，所以 cos ，则 tan .答案：3若abc的内角a满足sin 2a，则sin acos a_.解析：0a，02a2.又sin 2a，即2sin acos a，0a.(sin acos a)2，sin acos a.答案：4cossin的值是_解析：原式cossin cossin.答案： 5已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值解：cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .课下提升考能第组：全员必做题1(2014南通调研)若sin，则cos_.解析：coscossin.答案：2(2014淮安模拟)若 tan 3，则 sin2 2 sin cos 3 cos2 _.解析：sin2 2 sin cos 3 cos2 .答案：3已知cos，且|，则tan _.解析：cossin ，又|，则cos ，所以tan .答案：4已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，则sin 的值是_解析：由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3，故sin .答案：5已知f()，则f的值为_解析：f()cos ，fcoscoscos.答案：6已知sin()log8，且，则tan(2)的值为_解析：sin()sin log8，又 ，得cos ，tan(2)tan()tan .答案：7化简_.解析：原式sin sin 0.答案：08若2，则sin(5)sin_.解析：由2，得sin cos 2(sin cos )，两边平方得：12sin cos 4(12sin cos )，故sin cos ，sin(5)sinsin cos .答案：9求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.解：原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020(sin 1 050)tan 945sin 120cos 210cos 300(sin 330)tan 225(sin 60)(cos 30)cos 60sin 30tan 4512.10已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解：由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.第组：重点选做题1若cos 2sin ，则tan _.解析：由cos 2sin ，可知cos 0，两边同除以cos 得，12tan ，两边平方得(12tan )25(1tan2)，tan24tan 40，解得tan 2.答案：22.(2014无锡模拟)如图，a，b是单位圆上的两个质点，点b坐标为(1,0)，boa60.质点a以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点b以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动(1)求经过1 s 后，boa的弧度；(2)求质点a，b在单位圆上第一次相遇所用的时间解：(1)经过1 s 后，boa的弧度为2.(2)设经过t s 后质点a，b在单位圆上第一次相遇，则t(11)2，所以t，即经过 s 后质点a，b在单位圆上第一次相遇3.(2014镇江统考)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心o为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点a，与钝角的终边ob交于点b(xb，yb)，设bao.(1)用表示；(2)如果 sin ，求点b(xb，yb)坐标；(3)求xbyb的最小值解：(1)因为aob2.所以2.(2)由 sin ，r1，得ybsin sincos 22 sin21221.由 为钝角，知xbcos .所以b.(3)法一：xbybcos sin cos.又 ，则，cos.所以xbyb的最小值为.法二：因为为钝角，所以xb0，xy1，xbyb(xbyb)，(xbyb)22(xy)2，所以xbyb.所以xbyb的最小值为.第三节三角函数图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中kz).函数ysin xycos xytan x图像定义域rrx|xr，且xk，kz值域1,11,1r周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减2k，2k为减；2k，2k为增 为增对称中心(k，0)对称轴xkxk无1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kz”这一条件试一试1函数ytan的定义域是_答案：2(2013南京三模)函数ysin x的值域是_解析：因为x，由ysin x的图像知sin x1，故函数y的值域为.答案：1三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如yasin(x)(0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)ysin；(2)ysin.2求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为yasin(x)的形式，通过分析x的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决练一练1函数y|sin x|的一个单调增区间是_解析：作出函数y|sin x|的图像观察可知，函数y|sin x|在上递增答案：2(2013天津高考)函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.答案：考点一三角函数的定义域与值域1.函数f(x)3sin在区间上的值域为_解析：当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.答案：2(2014湛江调研)函数ylg(sin x) 的定义域为_解析：要使函数有意义必须有即解得(kz)，2kx2k，kz，函数的定义域为.答案：3(1)函数y2cos2x5sin x4的值域为_(2)当x时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析：(1)y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x22(sin x)2.故当sin x1时，ymax1，当sin x1时，ymin9，故y2cos2x5sin x4的值域为9,1(2)x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22.当sin x时，ymin，当sin x或sin x1时，ymax2.答案：(1)9,1(2)2备课札记 类题通法1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yasin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域考点二三角函数的单调性典例求下列函数的单调递减区间：(1)y2sin；(2)ytan.解(1)由2kx2k，kz，得2kx2k，kz.故函数y2sin的单调减区间为(kz)(2)把函数ytan变为ytan.由k2xk，kz，得k2xk，kz，即x0)在上单调递增，则的最大值为_解析：依题意可知t2，即2，解得，从而的最大值为.答案：考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：(1)求三角函数的对称轴或对称中心；(2)由三角函数的对称性求参数值；(3)三角函数对称性的应用.角度一求三角函数的对称轴或对称中心1(2013扬州期末)已知函数f(x)2sin2x2sin x cos x1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)当x时，求f(x)的最大值和最小值解：(1)f(x) sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为t.令 sin0，得x(kz)，所以f(x)的对称中心为(kz)(2)因为x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2.所以当x时，f(x)的最小值为1；当x时，f(x)的最大值为2.角度二由三角函数的对称性求参数值2(2014连云港期末)若函数y3sin(2x)(0)的图像关于点中心对称，则_.解析：由题意得3sin0，所以k(kz)又因为00，函数f(x)cos的一条对称轴为x，一个对称中心为点，则的最小值为_解析：由题意知，t，2.答案：2角度三三角函数对称性的应用4.(2014辽宁五校联考)设偶函数f(x)asin(x)(a0，0,00)的最小正周期为，则f(x)的单调递增区间为_解析：根据已知得，得2.由不等式2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)，所以函数f(x)的单调递增区间是(kz)答案：(kz)3函数ycos的单调减区间为_解析：由ycoscos得2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)所以函数的单调减区间为(kz)答案：(kz)4函数ytan的图像与x轴交点的坐标是_解析：由2xk(kz)得，x(kz)函数ytan的图像与x轴交点的坐标是.答案：5(2013南京二模)对函数f(x)xsin x，现有下列命题：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)的最小正周期是2；(3)点(，0)是函数f(x)的图像的一个对称中心；(4)函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减其中是真命题的是_(填序号)解析：由f(x)x sin x 知其定义域为r，对于(1)，f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以f(x)是偶函数；对于(2)，fsin，而f，显然ff；对于(3)，f，f，显然ff；对于(4)，f(x)sin xxcos x，易知f(x)0在上恒成立，所以f(x)在上为增函数，由(1)知f(x)在上为减函数答案：(1) (4)课下提升考能第组：全员必做题1函数y 的定义域为_解析：cos x0，得cos x，2kx2k，kz.答案：，kz2(2013洛阳统考)如果函数y3sin(2x)的图像关于直线x对称，则|的最小值为_解析：依题意得，sin1，则k(kz)，即k(kz)，因此|的最小值是.答案：3已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于_解析：0，x，x.由已知条件知，.答案：4(2014镇江期末)函数f(x)的对称中心坐标为_解析：因为f(x)(x1)，所以f(x1)1，所得函数f(x)的对称中心为(1，1)答案：(1，1)5(2013浙江高考改编)已知函数f(x)acos(x)(a0，0，r)，则“f(x)是奇函数”是“”的_条件解析：若f(x)是奇函数，则k(kz)；当时，f(x)为奇函数答案：必要不充分6函数y2sin1，x的值域为_，并且取最大值时x的值为_解析：0x，2x，0sin1，12sin11，即值域为1,1；且当sin1，即x时，y取最大值答案：1,17设f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(