《导学教程》2013届高三数学（理）三轮专题复习课件专题八第4讲转化与化归思想

第4讲转化与化归思想 1 2012 浙江 设a 0 b 0 A 若2a 2a 2b 3b 则a bB 若2a 2a 2b 3b 则a bC 若2a 2a 2b 3b 则a bD 若2a 2a 2b 3b 则a b 真题感悟 自主学习导引 解析设f x 2x 2x 则f x 在 0 上为增函数 由2a 2a 2b 3b及b 0 得2a 2a 2b 2b 即f a f b 故有a b 即A正确 B错误 对于命题C D 令a 2 则2b 3b 0 即b为g x 2x 3x的零点 而g 0 1 0 g 2 2 0 g 4 4 0 故0 b 2或b 2 即0 b a或b a 即命题C D都是错误的 故选A 答案A 2 2012 重庆 对任意的实数k 直线y kx 1与圆x2 y2 2的位置关系一定是A 相离B 相切C 相交但直线不过圆心D 相交且直线过圆心解析直线y kx 1过定点 0 1 而02 12 2 所以点 0 1 在圆x2 y2 2内部 直线y kx 1与圆x2 y2 2相交且直线不经过圆心 故选C 答案C 转化与化归的思想体现在高考试题中的各个方面 无论是直接转化还是间接转化 都是解决问题不可缺少的方法 解此类题目时 要善于发现和挖掘题目条件与结论之间的内在联系 通过代数运算或推理实现二者的转化 即为解题过程 考题分析 数学问题的解答离不开转化与化归 它既是一种数学思想 又是一种数学能力 是高考重点考查的最重要的思想方法 在高中数学的学习中 它无处不在 比如 处理立体几何问题时 将空间问题转化到一个平面上解决 在解析几何中 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题 复数问题化归为实数问题等 方法突破 1 转化与化归的原则 1 目标简单化原则 将复杂的问题向简单的问题转化 2 和谐统一性原则 即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐 在量 形关系上趋于统一的方向进行 使问题的条件和结论更均匀和恰当 3 具体化原则 即化归方向应由抽象到具体 4 低层次原则 即将高维空间问题化归成低维空间问题 5 正难则反原则 即当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的反面去探求 使问题获解 2 转化与化归常用到的方法 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把超越式转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方程 不等式问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过互相变换获得转化途径 4 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 5 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题 是转化方法的一个重要途径 6 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 易于确定转化途径 7 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的结论适合原问题 8 等价问题法 把原问题转化为一个易于解决的等价命题 达到转化目的 9 加强命题法 在证明不等式时 原命题难以得证 往往把命题的结论加强 即命题的结论加强为原命题的充分条件 反而能将原命题转化为一个较易证明的命题 比如在证明不等式时 原命题往往难以得证 这时常把结论加强 使之成为原命题的充分条件 从而得证 10 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题结果看作集合A 而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U 通过解决全集U及补集 UA使原问题得以解决 高频考点突破 考点一 抽象与具体 一般与特殊之间的转化 例1 若定义在R上的函数f x 满足 对任意x1 x2 R有f x1 x2 f x1 f x2 1 则下列说法一定正确的是A f x 为奇函数B f x 为偶函数C f x 1为奇函数D f x 1为偶函数 审题导引 条件中的函数f x 是抽象函数 可以把它具体化 结合选择题只有一个正确选项可得 规范解答 特殊函数法 由条件f x1 x2 f x1 f x2 1 可取f x x 1 所以f x 1 x是奇函数 故选C 答案 C 规律总结 具体化与特殊化原则 1 具体化原则 就是把一些抽象问题化归为具体问题 从而解决问题 一般地 对于抽象函数 抽象数列等问题 可以借助于熟悉的具体函数 数列等知识 探寻抽象问题的规律 找到解决问题的突破口和方法 2 数学题目有的具有一般性 有的具有特殊性 解题时 有时需要把一般问题化归为特殊问题 有时需要把特殊问题化归为一般问题 其解题模式是 首先设法使问题特殊 或一般 化 从而降低难度 然后解这个特殊 或一般 性的问题 从而使原问题获解 变式训练 答案C 考点二 正向思维与逆向思维的转化与化归 例2 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间 1 1 内至少存在一个值c使得f c 0 求实数p的取值范围 审题导引 从 至少存在一个 的反面来考虑问题 求在 1 1 内不存在c使f c 0的p的范围 然后求其补集 规律总结 正难则反的应用原则正难则反 利用补集求得其解 这就是补集思想 充分体现对立统一 相互转化的思想方法 一般地 题目若出现多种成立的情形 则不成立的情形相对很少 从反面考虑较简单 因此 间接法多用于含有 至多 至少 情形的问题中 变式训练 2 已知集合A y y2 a2 a 1 y a a2 1 0 B y y2 6y 8 0 若A B 则实数a的取值范围为 解析由题意得A y y a2 1或y a B y 2 y 4 我们不妨先考虑当A B 时a的取值范围 如图 考点三 以换元为手段的转化与化归 例3 已知a R 求函数y a sinx a cosx 的最小值 审题导引 本题考查函数的最值问题 化归思想及运算能力 观察到等式右边是关于sinx cosx与sinx cosx的三角式 可设t sinx cosx 则原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题 规律总结 换元法的应用形如f x asin2x bsinx c的函数 其最值的求解可利用换元法 通过配方转化为二次函数的最值问题处理 但要注意三角函数自身的取值范围限制 对于解析式中含有sinx cosx和sinxcosx的函数 往往通过换元也可转化为二次函数的最值问题 利用配方法求解最值 其基本的思维过程是 换元 整理 配方 求最值 变式训练 名师押题高考 押题1 当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围是 答案 5 押题依据 本题以不等式恒成立为背景考查了函数的值域 体现了函数 不等式问题之间的相互转化 强化了知识 突出了能力 故押此题 押题2 已知各项均为正数的等差数列 an 的公差d不等于0 a1 2 设a1 a3 a7是公比为q的等比数列 bn 的前三项 1 求数列 anbn 的前n项和Tn 2 将数列 an 中与 bn 中