北京市丰台区高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合a=x|x2x20，b=1，2，3，那么ab=（） a 1，0，1，2，3 b 1，0，3 c 1，2，3 d 1，22已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=4且y=2”是“”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件3高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（） a 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 b 两组同学的样本平均数一定相等 c 两组同学的样本标准差一定相等 d 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4已知a，b，c分别是abc三个内角a，b，c的对边，那么a等于（） a 1 b 2 c 4 d 1或45已知函数y=logb（xa）（b0且b1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（） a b c d 62014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（） a 种 b 种 c 种 d 种7如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（） a b c d 8在平面直角坐标系xoy中，如果菱形oabc的边长为2，点b在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（） a 1，3 b 0，1，3 c 0，1，3，4 d 0，1，2，3，4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是a，b（如图所示），则复数的值是10等差数列an的前n项和为sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么s3等于11执行如图所示的程序框图，则输出的结果是12若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是13过点作圆o：x2+y2=1的切线，切点为n，如果y0=0，那么切线的斜率是；如果omn，那么y0的取值范围是14设函数y=f（x）的定义域为d，如果存在非零常数t，对于任意xd，都有f（x+t）=tf（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数t为函数y=f（x）的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数；函数f（x）=x是“似周期函数”；函数f（x）=2x是“似周期函数”；如果函数f（x）=cosx是“似周期函数”，那么“=k，kz”其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2015许昌三模）已知函数，xr（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x的值16（13分）（2015南昌校级二模）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为x，求x的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率）17（14分）（2015铜仁市模拟）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，pa底面abcd，m是棱pd的中点，且pa=ab=ac=2， （）求证：cd平面pac；（）求二面角mabc的大小；（）如果n是棱ab上一点，且直线cn与平面mab所成角的正弦值为，求的值18（13分）（2014秋丰台区期末）已知函数f（x）=x+ex1（）求函数f（x）的极小值；（）如果直线y=kx1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围19（14分）（2014秋丰台区期末）已知椭圆c：的右焦点，点在椭圆c上（）求椭圆c的标准方程；（）直线l过点f，且与椭圆c交于a，b两点，过原点o作直线l的垂线，垂足为p，如果oab的面积为（为实数），求的值20（13分）（2014秋丰台区期末）已知数列an满足a1=1，an=an1+1，（1，n2且nn*）（）求证：当0时，数列为等比数列；（）如果=2，求数列nan的前n项和sn；（）如果an表示不超过an的最大整数，当时，求数列（1）an的通项公式2014-2015学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合a=x|x2x20，b=1，2，3，那么ab=（） a 1，0，1，2，3 b 1，0，3 c 1，2，3 d 1，2考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 先求出不等式x2x20的解集a，由交集的运算求出ab解答： 解：由x2x20得，1x2，则a=x|1x2，又b=1，2，3，则ab=1，2，故选：d点评： 本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题2已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=4且y=2”是“”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据向量平行的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若，则x2y=0，即x=2y，若x=4且y=2，满足x=2y，即充分性成立，当x=y=0时，满足x=2y但x=4且y=2不成立，即必要性不成立，故“x=4且y=2”是“”充分不必要条件，故选：a点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标关系是解决本题的关键3高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（） a 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 b 两组同学的样本平均数一定相等 c 两组同学的样本标准差一定相等 d 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同考点： 众数、中位数、平均数 专题： 概率与统计分析： 根据每一个个体被抽到的概率都为，可得每个个体被抽到可能性相同解答： 解：两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，每一个个体被抽到的概率都为，该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同，故选d点评： 本题考查了抽样方法，在抽样方法中，每个个体被抽到的概率相等4已知a，b，c分别是abc三个内角a，b，c的对边，那么a等于（） a 1 b 2 c 4 d 1或4考点： 余弦定理 专题： 解三角形分析： 由余弦定理列出关系式，把b，c，cosb的值代入计算即可求出a的值解答： 解：abc中，b=，c=，cosb=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosb，即7=a2+33a，解得：a=4或a=1（舍去），则a的值为4故选：c点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键5已知函数y=logb（xa）（b0且b1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（） a b c d 考点： 函数的图象 专题： 函数的性质及应用分析： 先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案解答： 解由对数函数图象可知，函数为增函数，b1，y=logb（xa）函数的图象过定点（a+1，0），a+1=2，a=1函数y=a+sinbx（b0且b1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期t=2，故选：b点评： 本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题62014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（） a 种 b 种 c 种 d 种考点： 计数原理的应用 专题： 计算题；排列组合分析： 由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法解答： 解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法共有种，故选：b点评： 本题考查乘法原理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础7如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（） a b c d 考点： 简单空间图形的三视图 专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图解答： 解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是四棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图所示：顶点p在底面abcd上的射影为cd的中点o，故该锥体的正视图是：故选a点评： 本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图是解答的关键8在平面直角坐标系xoy中，如果菱形oabc的边长为2，点b在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（） a 1，3 b 0，1，3 c 0，1，3，4 d 0，1，2，3，4考点： 二元一次不等式（组）与平面区域 专题： 不等式的解法及应用分析： 根据菱形的不同位置进行判断即可解答： 解：根据对称性我们只研究在x轴上方的整点情况，菱形oabc的边长为2，点b在y轴上，a，c点在半径为2的圆上，且a，c关于y轴对称，如图1，若对角线ob的长度ob1，此时区域内整点个数为0，排除a，如图2此时区域内整点为（0，1），个数为1，如图3，此时区域内整点为（1，1），（0，1），（1，1），个数为3，如图4则此时区域内整点为（1，1），（0，1），（0，2），（1，1），个数为4个，如图5则此时区域内整点为（0，1），（0，2），个数为2个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是0，1，2，3，4，故选：d点评： 本题主要考查平面区域内整点的判断，利用数形结合是解决本题的关键比较复杂二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是a，b（如图所示），则复数的值是1+i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答： 解：由复数的几何意义可知：z1=2i，z2=1i=1+i故答案为：1+i点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题10等差数列an的前n项和为sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么s3等于15考点： 等差数列的前n项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的性质求出a4的值，再求出公差d的值，利用等差数列的前n项和公式求出s3的值解答： 解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d=3，所以s3=32+9=15，故答案为：15点评： 本题考查等差数列的前n项和公式、性质，属于基础题11执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c，s的值，当c=8时，满足条件c5，退出循环，输出s的值为20解答： 解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c5，退出循环，输出s的值为20故答案为：20点评： 本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查12若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是5考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点b时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为x+y=10由解得，即b（k，k），代入x+y=10得k+k=2k=10，解得k=5故答案为：5点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法13过点作圆o：x2+y2=1的切线，切点为n，如果y0=0，那么切线的斜率是；如果omn，那么y0的取值范围是1y01考点： 圆的切线方程 专题： 计算题；直线与圆分析： 设切线方程为y=k（x），即kxyk=0，圆心到直线的距离为d=1，可得k的值；omn，则，可得om2，即可求出y0的取值范围解答： 解：y0=0，设切线方程为y=k（x），即kxyk=0，圆心到直线的距离为d=1，k=；omn，则，om2，3+4，1y01，故答案为：；1y01点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题14设函数y=f（x）的定义域为d，如果存在非零常数t，对于任意xd，都有f（x+t）=tf（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数t为函数y=f（x）的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数；函数f（x）=x是“似周期函数”；函数f（x）=2x是“似周期函数”；如果函数f（x）=cosx是“似周期函数”，那么“=k，kz”其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号）考点： 抽象函数及其应用 专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得解答： 解：如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，则f（x1）=f（x），即f（x1）=f（x）=（f（x+1）=f（x+1）；故它是周期为2的周期函数；故正确；若函数f（x）=x是“似周期函数”，则存在非零常数t，使f（x+t）=tf（x），即x+t=tx；故（1t）x+t=0恒成立；故不存在t故假设不成立，故不正确；若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则存在非零常数t，使f（x+t）=tf（x），即2xt=t2x，即（t2t）2x=0；而令y=x2x，作图象如下，故存在t0，使t2t=0；故正确；若函数f（x）=cosx是“似周期函数”，则存在非零常数t，使f（x+t）=tf（x），即cos（x+t）=tcosx；故t=1或t=1；故“=k，kz”故正确；故答案为：点评： 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2015许昌三模）已知函数，xr（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x的值考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： （）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），由周期公式即可求t的值（）由x，可求从而可求最大值和最小值及相应的x的值解答： 解：（）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x）1=sin（2x+）+cos（2x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）t= 7 分（）因为x，所以 所以 当2x=，即x=时，ymax=2；当2x=，即x=时，（13分）所以当x=时，函数有最大值是2；当x=时，函数有最小值是点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于中档题16（13分）（2015南昌校级二模）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为x，求x的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率）考点： 频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题： 概率与统计分析： （）根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；（）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率；（）得出x可能的取值，求出x的分布列与期望e（x）解答： 解：（）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.155+0.265+0.375+0.2585+0.1595=76.5； （2分）（）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件ap（a）=0.02510+0.01510=0.4；被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4； （6分）（）由（）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为p=；x可能的取值是0，1，2，3；p（x=0）=；p（x=1）=；p（x=2）=；p（x=3）=；x的分布列为：x 0 1 2 3p （12分）所以 e（x）=0+1+2+3=； （13分）（或xb（3，），e（x）=np=3=点评： 本题考查了频率布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是综合性题目17（14分）（2015铜仁市模拟）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，pa底面abcd，m是棱pd的中点，且pa=ab=ac=2， （）求证：cd平面pac；（）求二面角mabc的大小；（）如果n是棱ab上一点，且直线cn与平面mab所成角的正弦值为，求的值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题： 空间位置关系与距离分析： （）连结ac，由已知数据和勾股定理可得abac，可得accd，再由线面垂直关系可得；（）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面mab的法向量=（0，1，1），又可得=（0，0，2）是平面abc的一个法向量，计算可得cos，可得二面角；（）设n（x，0，0），由题意可得x的方程=，解方程可得解答： 证明：（）连结ac，在abc中，ab=ac=2，bc2=ab2+ac2，abac，abcd，accd，又pa底面abcd，pacd，acpa=a，cd平面pac；（）如图建立空间直角坐标系，则a（0，0，0），p（0，0，2），b（2，0，0），c（0，2，0），d（2，2，0），m是棱pd的中点，m（1，1，1），=（1，1，1），=（2，0，0），设=（x，y，z）为平面mab的法向量，即令y=1，则，平面mab的法向量=（0，1，1）pa平面abcd，=（0，0，2）是平面abc的一个法向量cos，=二面角mabc 为锐二面角，二面角mabc的大小为；（）n是在棱ab上一点，设n（x，0，0），=（x，2，0），设直线cn与平面mab所成角为，因为平面mab的法向量=（0，1，1），=，解得x=1，即an=1，nb=1，=1点评： 本题考查空间位置关系，涉及向量法和线面垂直的证明，属中档题18（13分）（2014秋丰台区期末）已知函数f（x）=x+ex1（）求函数f（x）的极小值；（）如果直线y=kx1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的综合应用分析： （）利用导数求出函数f（x）的单调区间，进而求出函数的极小值；（）先利用特殊值，判断两函数值的大小，再构造函数g（x）=g（x）（kx1），根据函数g（x）的最值来对k进行分类讨论解答： 解：（）函数的定义域为rf（x）=x+ex1，令f（x）=0，则x=0当x0时，f（x）0，当；x0x0时，f（x）0f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当x=0时函数有极小值f（x）极小值=f（0）=0（）函数，当x=0时，y=k01=1，所以要使y=kx1与f（x）无交点，等价于f（x）kx1恒成立令，即g（x）=（1k）x+ex，所以当k=1时，满足y=kx1与f（x）无交点；当k1时，而，所以，此时不满足y=kx1与f（x）无交点当k1时，令，则x=ln（1k），当x（，ln（1k）时，g（x）0，g（x）在（，ln（1k）上单调递减上单调递减；当x（ln（1k），+）时，g（x）0，g（x）在（ln（1k），+）上单调递增；当x=ln（1k）时，g（x）min=g（ln（1k）=（1k）（1ln（1k）由（1k）1ln（1k）0 得1ek1，即y=kx1与f（x）无交点综上所述 当k（1e，1时，y=kx1与f（x）无交点点评： 本题考查了，函数的最值，单调性，图象的交点，运用了等价转化、分类讨论思想，是一道导数的综合题，难度较大19（14分）（2014秋丰台区期末）已知椭圆c：的右焦点，点在椭圆c上（）求椭圆c的标准方程；（）直线l过点f，且与椭圆c交于a，b两点，过原点o作直线l的垂线，垂足为p，如果oab的面积为（为实数），求的值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）通过右焦点可知：c=，左焦点f（，0），利用2a=|mf|+|mf|可得a=2，进而可得结论；（）通过sabc=，可得=|op|2，对直线l的斜率存在与否进行讨论当直线l的斜率不存在时，易得=1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并与椭圆