北京市海淀区高一数学下学期期中试题（含解析）.doc

2012-2013学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）sin45cos15cos45sin15=（）abcd1考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的求值分析：应用两角差的正弦公式，直接把所给式子化为sin30，再求出30的正弦值即可解答：解：sin45cos15cos45sin15=sin（4515）=sin30=故选：a点评：本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，解题时要注意公式的形式2（4分）数列an中，a1=1，an+1=an+2（nn*），那么a8的值是（）a14b15c15d17考点：等差数列专题：等差数列与等比数列分析：由题意得出an+1an=2，从而判断数列是以等差为2，首项为1的等差数列，进而求出通项公式，从而求解解答：解：数列an中，a1=1，an+1=an+2，an+1an=2，数列是以等差为2，首项为1的等差数列an=1+2（n1）=2n1a8=281=15，故选b点评：本题考查了等差数列的通项公式，由an+1an=2，判断数列是以等差为2，首项为1的等差数列，是解题的关键属于基础题3（4分）等比数列an中，a3=1，那么a1a2a3a4a5的值是（）a4b5c1d1考点：等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：根据等比数列的性质：若m，n，p，qn*，且m+n=p+q，则有aman=apaq，可得a1a2a3a4a5=a35解答：解：在等比数列an中，若m，n，p，qn*，且m+n=p+q，则有aman=apaq所以根据等比数列的性质可得：a1a2a3a4a5=a35=1故选c点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的性质，即在等比数列an中，若m，n，p，qn*，且m+n=p+q，则有aman=apaq4（4分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若，则a的大小是（）abcd考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosa，将已知等式变形后代入求出cosa的值，由a为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数解答：解：已知等式变形得：a2b2+2bcc2=bc，即b2+c2a2=bc，由余弦定理得：cosa=，a为三角形的内角，a=故选c点评：此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键5（4分）在abc中，若sinacosb=sinc，则abc的形状是（）a等腰三角形b锐角三角形c钝角三角形d直角三角形考点：三角形的形状判断专题：计算题；解三角形分析：在abc中，利用sin（a+b）=sinc，再利用两角和的正弦展开，合并整理即可判断abc的形状解答：解：在abc中，sin（a+b）=sinc，sinacosb=sinc=sin（a+b）=sinaccosb+cosasinb，cosasinb=0，又sinb0，cosa=0，在abc中，a为直角abc为直角三角形故选d点评：本题考查三角形的形状判断，考查用两角和的正弦与诱导公式的应用，属于中档题6（4分）等差数列an的前n项和为sn，已知s90，s110，那么下列结论正确的是（）as9+s100bs10+s110c数列an是递增数列，且前9项的和最小d数列an是递增数列，且前5项的和最小考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得a50，且 a60，从而得出结论解答：解：由s9=9a50，可得 a50再由 s11=9a60，可得 a60故此等差数列是递增的等差数列，前5项为负数，从第6项开始为正数，故前5项的和最小，故选d点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题7（4分）如图，为了测量河对岸a，b两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取c，d两点，测得cd=200m，adc=105，bdc=15，bcd=120，acd=30，则a，b两点间的距离是（）ambmc100md100m考点：解三角形的实际应用专题：解三角形分析：在acd中，计算ac，在bcd中，求bc，在abc中，利用勾股定理，即可求得结论解答：解：cd=200m，adc=105，acd=30，在acd中，ac=100（+1）在bcd中，bdc=15，bcd=120，bc=100（1）在abc中，acb=90，ab=m故选a点评：本题考查正弦定理的运用，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题8（4分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，b=30，c=6，记b=f（a），若函数g（a）=f（a）k（k是常数）只有一个零点，则实数k的取值范围是（）ak|0k3或k=6bk|3k6ck|k6dk|k6或k=3考点：函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分析：由余弦定理可得 b=f（a）的解析式，利用二次函数的性质可得f（a）的最小值为3，f（a）的增区间为3，+），减区间为（0，3），且f（0）趋于6，由此可得实数k的取值范围解答：解：在abc中，b=30，c=6，记b=f（a），而由余弦定理可得 b=3，即f（a）的最小值为3由于函数g（a）=f（a）k（k是常数）只有一个零点，故方函数y=f（a）与直线y=k有唯一交点，由于函数f（a）的增区间为3，+），减区间为（0，3），且f（0）趋于6，结合函数b=f（a）的图象可得 k6，或k=3，故选d点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.9（4分）已知，则cos2=考点：二倍角的余弦专题：三角函数的求值分析：把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sin的式子，将sin的值代入即可求出值解答：解：因为sin=，所以cos2=12sin2=12（）2=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题10（4分）已知等比数列1，a，b，8，此数列的第7项是64考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：直接由给出的等比数列的首项和第四项求出公比，然后再带入通项公式即可求解解答：解：在等比数列1，a，b，8，中，a1=1，a4=8，设其公比为q，所以8=1q3，则q=2所以=64故答案为64点评：本题考察了等比数列的通项公式，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是基础题11（4分）公差不为零的等差数列an的前n项和为sn，若s4=a4，则=考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设出数列的首项和公差，根据等差数列通项公式和前n项和公式，代入条件化简得a1和d的关系，再代入所求的式子进行化简求值解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d， 由s4=a4，得4a1+6d=a1+3d，得a1=d，=，故答案为：点评：本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的简单应用，属于基础题12（4分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，如果a=2，c=，a=30，那么abc的面积等于2或考点：正弦定理专题：解三角形分析：由a的度数求值sina的值，再由a、c的值，利用正弦定理求出sinc的值，再利用特殊角的三角函数值求出c的度数，进而求出b的度数，确定出sinb的值，由a，c及sinb的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形abc的面积解答：解：a=2，c=2，a=30，由正弦定理=得：sinc=，c=60或120，b=90或30，则sabc=acsinb=2或故答案为：2或点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键13（4分）数列an的前n项和是sn若2sn=nan+2（n2，nn*），a2=2，则a1=1；an=考点：数列的概念及简单表示法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：由2sn=nan+2（n2，nn*），a2=2，令n=2，可求出a1的值由2sn=nan+2，知2sn1=（n1）an1+2，由此可求出，最后利用叠乘法即可求出通项公式解答：解：当n=2时，2（a1+a2）=2a2+2，a1=1，当n2时，有2sn1=（n1）an1+2，2an=nan（n1）an1，即（n2）an=（n1）an1，当n3时，有，以上n2个式相乘得，an=2n2，当n=2时a2=2符合上式，an=故答案为：1，点评：本题考查数列的概念及简单表示法和应用，解题要认真审题，注意公式的灵活运用14（4分）将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列a11，a21，a22，a31，a32，若所得数列构成一个等差数列，且a11=2，a33=12，则数阵中的数aii可用i表示为i2+i；若amn+a（m+1）（n+1）=a（m+2）（n+2），则m+n的值为5考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：不妨设等差数列a11，a21，a22，a31，a32，为bn，则由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2，故bn=2n而 aii可为等差数列bn中的第1+2+3+i= 个，由此可得 aii 的值先求出amn=m2m+2n再由已知的等式化简可得 m23m4+2n=0，由于n0，可得m23m40，解得m的范围，结合 mn0，可得m和n的值，从而求得 m+n的值解答：解：不妨设等差数列a11，a21，a22，a31，a32，为bn，则由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2故bn=2n而 aii可为等差数列bn中的第1+2+3+i= 个，aii =2=i（i+1）=i2+i，故答案为 i2+i由题意可得，amn=b1+2+3+（m1）+n=21+2+3+（m1）+n=m2m+2na（m+1）（n+1）=（m+1）2（m+1）+2（n+1），a（m+2）（n+2）=（m+2）2（m+2）+2（n+2）再由 amn+a（m+1）（n+1）=a（m+2）（n+2），可得 m2m+2n+（m+1）2（m+1）+2（n+1）=（m+2）2（m+2）+2（n+2），化简可得 m23m4+2n=0，由于n0，m23m40，解得1m4，m=1，2，3，再由 mn0，可得，m+n=5，故答案为 5点评：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（11分）已知函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦；复合三角函数的单调性专题：三角函数的求值分析：本题要先利用三角恒等变换公式，化简整理后，将f（x）=变为f（x）=（i）由正弦函数的单调性，令相位属于正弦函数的增区间和减区间，解出x的取值范围，即得到函数的递增区间和递减区间；（ii）先由x的范围得出 ，然后根据正弦函数的单调性即可得出答案解答：解：（）=（2分）=（3分）由（kz）得（kz）由（kz）得（kz）（6分）所以 f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为（）因为 ，所以 （8分）所以 当，即时，f（x）取得最大值；当，即时，f（x）取得最小值1（11分）点评：本题是三角函数中的常规题型，近几年高考中这种类型也比较常见，其步骤是先化简整理，再由公式进行求解，求单调区间，求最值等，此类题掌握好解题规律即可顺利解出，中档题16（11分）已知等差数列an的前10项和s10=40，a5=3（）求数列an的通项公式；（）设（nn*），求数列bn的前n项和tn考点：等差数列的前n项和；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（）设首项为a1和公差为d，根据等差数列通项公式和前n项和公式，代入条件列出方程组，再求出a1和d代入通项公式；另解：前n项和公式选的是，利用性质“a1+a10=a5+a6”求出a6，再求出公差和通项公式；（）把（）的结果代入bn，根据bn的特点选用分组求和法，分别利用等差和等比数列的前n项和公式化简解答：解：（）设等差数列an的首项为a1、公差为da5=3，s10=40，解得：a1=5，d=2an=72n另解：a5=3，s10=40，解得 a6=5an=a5+（n5）（2）=72n（）由（）知，等差数列an的首项是5，公差是2则=72n+272n，=点评：本题考查了等差和等比数列前n项和公式，通项公式的应用，以及一般数列求和方法：分组求和，考查了计算能力17（11分）在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，且（2ac）cosb=bcosc（）求角b的大小；（）若点d为bc边的中点，cad=，cd=1，求c的值考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：（）方法一：利用正弦定理把边化角，利用两角和差的正弦公式和诱导公式化简，由内角的范围取舍，求出角b的值，方法二：利用余弦定理把角化边，化简后代入余弦定理的推论，求出b的余弦值，再求出b的值；（）由正弦定理在acd，abd中分别列出两个方程，再由（1）和条件，用内角和定理求出abc，再把条件代入方程化简，由内角的范围求出角c的值，分情况判断三角形的形状求出对应的c解答：解：（）方法一：，（2ac）cosb=bcosc，2sinacosbsinccosb=sinbcosc2sinacosb=sin（b+c）=sinaa（0，），sina0b（0，），方法二：（2ac）cosb=bcosc，化简得 a2+c2b2=ca，b（0，），（）在acd，abd中，由（）知：点d为bc边的中点，abc=，化简得，2c（0，），2c=或，即或，当时，abc为等边三角形，由cd=1可得：ab=2cd=2；当时，所以abd为等边三角形，由cd=1可得：ab=bd=cd=1综上得，c=2或c=1点评：本题考查了正（余）弦定理在解三角形中的综合应用：边角互化或求值，以及内角和定理，倍角的正弦公式，注意求出三角函数值再求角时，一定要判断角的范围18（11分）数列an的前n项和为sn已知（）若a1=1，求a2，a3，a4；（）若a1=a（a为常数），求数列an的通项公式；（）设，求数列tn的最大项考点：数列递推式；数列的函数特性专题：等差数列与等比数列分析：（）直接利用数列的递推公式，分别令n=1，2，3依次计算可求得a2，a3，a4；（）在中，分别以2n，2n1代n（第问已做了由特殊到一般的铺垫），得出 a2n+1+a2n=4n1，a2na2n1=4n3继而得出 a3=2a1，a2n+3+a2n+1=2，所以 a2n+3=a2n1（nn*）当n=2k（kn*）时，a4k+3=a4k1=a3=2a1；当n=2k1（kn*）时，a4k+1=a4k3=a1由已知可得