北京市西城区高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（4分）双曲线y2=1的实轴长为（）a4b2cd12（4分）抛物线x2=4y的准线方程是（）ax=1bx=1cy=1dy=13（4分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）a若m，n，则mnb若m，mn，则nc若m，n，则mnd若m，mn，则n4（4分）命题“a，br，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）aa，br，如果a2=ab，则a=bba，br，如果a2=ab，则abca，br，如果a2ab，则abda，br，如果ab，则a2ab5（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（）abcd6（4分）已知直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）a1b1c1和1d7（4分）“a=3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件8（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）a10cmb7.2cmc3.6cmd2.4cm9（4分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）abd与cf成60角bbd与ef成60角cab与cd成60角dab与ef成60角10（4分）如图，在边长为2的正方体abcda1b1c1d1中，p、q分别为棱ab、a1d1的中点，m、n分别为面bcc1b1和dcc1d1上的点，一质点从点p射向点m，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点n，再经平面反射，恰好反射至点q，则三条线段pm、mn、nq的长度之和为（）abc2d3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11（5分）命题“xr，x22x0”的否定是12（5分）空间向量=（1，1，2），=（1，2，1），=（x，y，2），且则=13（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为14（5分）已知f为双曲线c：y2=1的一个焦点，则点f到双曲线c的一条渐近线的距离为15（5分）由直线y=x上一点向圆（x4）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为16（5分）已知点m（3，0）和点n（3，0），直线pm，pn的斜率乘积为常数a（a0），设点p的轨迹为c，给出以下几个命题：存在非零常数a，使c上所有点到两点（4，0），（4，0）距离之和为定值；存在非零常数a，使c上所有点到两点（0，4），（0，4）距离之和为定值；不存在非零常数a，使c上所有点到两点（4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；不存在非零常数a，使c上所有点到两点（0，4），（0，4）距离差的绝对值为定值；其中正确的命题是（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（13分）如图，四边形abcd为矩形，ad平面abe，aeb=90，f为ce上的点（）求证：ad平面bce；（）求证：aebf18（13分）已知三个点a（0，0），b（4，0），c（3，1），圆m为abc的外接圆（）求圆m的方程；（）设直线y=kx1与圆m交于p，q两点，且|pq|=，求k的值19（14分）在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面四边形abcd为直角梯形，adbc，adab，pa=ad=2，ab=bc=1，q为pd中点（）求证：pdbq；（）求直线bq与平面pcd所成角的正弦值20（14分）已知椭圆w：+y2=1，直线l过点（0，2）与椭圆w交于两点a，b，o为坐标原点（）设c为ab的中点，当直线l的斜率为时，求线段oc的长；（）当oab面积等于1时，求直线l的斜率21（13分）在如图所示的几何体中，四边形abcd是矩形，ab=2bc=4，四边形cdef是等腰梯形，efdc，ef=2，且平面abcd平面cdef，afcf（）过bd与af平行的平面与cf交于点g求证：g为cf的中点；（）求二面角bafd的余弦值22（13分）如图，曲线e是由抛物线弧e1：y2=4x（0x）与椭圆弧e2：+=1（xa）所围成的封闭曲线，且e1与e2有相同的焦点（）求椭圆弧e2的方程；（）设过点f（1，0）的直线与曲线e交于a，b两点，|fa|=r1，|fb|=r2，且afx=（0），试用cos表示r1；并求的取值范围北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（4分）双曲线y2=1的实轴长为（）a4b2cd1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a=2，即可得到双曲线的实轴长2a解答：解：双曲线y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查实轴的概念，考查运算能力，属于基础题2（4分）抛物线x2=4y的准线方程是（）ax=1bx=1cy=1dy=1考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程解答：解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以：2p=4，即p=2，所以：=1，准线方程 y=1，故选d点评：本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置3（4分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）a若m，n，则mnb若m，mn，则nc若m，n，则mnd若m，mn，则n考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答解答：解：对于选项a，若m，n，则m与n可能相交、平行或者异面；故a错误；对于b，若m，mn，则n与可能平行或者n在内；故b错误；对于c，若m，n，根据线面垂直的性质可得mn；故c正确；对于d，若m， mn，则n或者n；故d错误；故选c点评：本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键4（4分）命题“a，br，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）aa，br，如果a2=ab，则a=bba，br，如果a2=ab，则abca，br，如果a2ab，则abda，br，如果ab，则a2ab考点：四种命题 分析：根据命题若p，则q的否命题是若p，则q，写出它的否命题即可解答：解；“a，br，如果a=b，则a2=ab”的否命题是a，br，如果ab，则a2ab故选：d点评：本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题5（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意，a=2b，再用平方关系算得c=b，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率解答：解：椭圆的长轴长是短轴长的2倍，2a=22b，得a=2b，又a2=b2+c2，4b2=b2+c2，可得c=b，因此椭圆的离心率为e=故选：c点评：本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题6（4分）已知直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）a1b1c1和1d考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：由两直线平行，得到两直线系数间的关系，求解不等式组可得a的值解答：解：直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则，解得：a=1故选：b点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题7（4分）“a=3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据圆与圆的位置关系从而进行判断解答：解：a=3时，圆x2+y2=1的圆心是（0，0），半径是1，圆（x3）2+y2=4的圆心是（3，0），半径是2，两个圆的圆心距是3，相切，是充分条件，若圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切，可能内切，可能外切，推不出a=3，不是必要条件，故选：a点评：本题考查了圆与圆的位置关系，考查了充分必要条件，是一道基础题8（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）a10cmb7.2cmc3.6cmd2.4cm考点：抛物线的应用 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先设出抛物线的标准方程y2=2px（p0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离解答：解：设抛物线方程为y2=2px（p0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，144=2p10=3.6因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为3.6cm故选：c点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程考查了对抛物线基础知识的掌握9（4分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）abd与cf成60角bbd与ef成60角cab与cd成60角dab与ef成60角考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到bd与cf成0角，bd与ef成90角，ab与cd成60角，ab与ef成90角解答：解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，bdcf，bd与cf成0角，故a错误；bd平面a1edf，ef平面a1edf，bd与ef成90角，故b错误；aecd，bae是ab与cd所成角，abe是等边三角形，bae=60，ab与cd成60角，故c正确；aba1d，又a1def，ab与ef成90角，故d错误故选：c点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用10（4分）如图，在边长为2的正方体abcda1b1c1d1中，p、q分别为棱ab、a1d1的中点，m、n分别为面bcc1b1和dcc1d1上的点，一质点从点p射向点m，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点n，再经平面反射，恰好反射至点q，则三条线段pm、mn、nq的长度之和为（）abc2d3考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：作点p关于平面bcc1b1的对称点p1，再作q关于平面dcc1d1的对称点q1，连接p1q1，根据勾股定理即可求得长度之和解答：解：作点p关于平面bcc1b1的对称点p1，再作q关于平面dcc1d1的对称点q1，连接p1q1，这就是光线所经过的等效路径，其长度就是pm，mn，nq三条线段的长度之和，根据勾股定理：|p1q1|2=（a1q1）2+（aa1）2+（a1p）2=32+22+32=22，可得|p1q1|=，故选：a点评：本题考查了正方体的几何性质，光的反射原理，对称性问题，化折线为直线求解线段的长度，题目很新颖，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11（5分）命题“xr，x22x0”的否定是xr，使x22x0考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“xr，x22x0”的否定是：xr，使x22x0故答案为：xr，使x22x0点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查12（5分）空间向量=（1，1，2），=（1，2，1），=（x，y，2），且则=2考点：共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算 专题：空间向量及应用分析：由，利用向量共线定理可得：存在实数k使得，再利用数量积运算即可得出解答：解：，存在实数k使得，解得x=2，y=4=（2，4，2），=24+4=2故答案为：2点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算，属于基础题13（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图判断几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2，把数据代入棱锥的体积公式计算解答：解：由三视图知几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2几何体的体积v=222=故答案为：点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键14（5分）已知f为双曲线c：y2=1的一个焦点，则点f到双曲线c的一条渐近线的距离为1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a，b，c，可设f（2，0），设双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到解答：解：双曲线c：y2=1的a=，b=1，c=2，则可设f（2，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则f到渐近线的距离为d=1，故答案为：1点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题15（5分）由直线y=x上一点向圆（x4）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为考点：圆的切线方程 专题：计算题；直线与圆分析：要使切线长最小，必须直线y=x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值解答：解：要使切线长最小，必须直线y=x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m=2，由勾股定理求得切线长的最小值为=故答案为：点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用16（5分）已知点m（3，0）和点n（3，0），直线pm，pn的斜率乘积为常数a（a0），设点p的轨迹为c，给出以下几个命题：存在非零常数a，使c上所有点到两点（4，0），（4，0）距离之和为定值；存在非零常数a，使c上所有点到两点（0，4），（0，4）距离之和为定值；不存在非零常数a，使c上所有点到两点（4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；不存在非零常数a，使c上所有点到两点（0，4），（0，4）距离差的绝对值为定值；其中正确的命题是（填出所有正确命题的序号）考点：轨迹方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据斜率公式得出=a，得y2=a（x29），再分类讨论，即可得出结论解答：解：设p（x，y）由=a，得y2=a（x29），若a=1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除a b点）；若1a0，方程为=1，轨迹为椭圆（除a b点）9a9，c=4，a=，不符合；a1，9a9，c=4，a=，符合，存在非零常数a，使c上所有点到两点（0，4），（0，4）距离之和为定值；若a0，方程为，轨迹为双曲线（除a b点）c=4，a=，存在非零常数a，使c上所有点到两点（4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上故答案为：点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（13分）如图，四边形abcd为矩形，ad平面abe，aeb=90，f为ce上的点（）求证：ad平面bce；（）求证：aebf考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：（）直接根据已知条件，将利用线线平行转化为线面平行（）利用线面垂直转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到线面垂直，最后证得线线垂直解答：（本小题满分13分）（）证明：因为四边形abcd为矩形，所以adbc又因为bc平面bcead平面bce所以ad平面bce（）证明：因为ad平面abeadbcbc平面abeaebc因为aeb=90所以：aebe所以：ae平面bcebf平面bce所以：aebf点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定，及线面垂直与线线垂直之间的转化属于基础题型18（13分）已知三个点a（0，0），b（4，0），c（3，1），圆m为abc的外接圆（）求圆m的方程；（）设直线y=kx1与圆m交于p，q两点，且|pq|=，求k的值考点：圆的一般方程 专题：直线与圆分析：（）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得d，e，f的值，则圆的方程可求；（）由（）得圆m的圆心为（2，1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k的值解答：解：（）设圆m的方程为x2+y2+dx+ey+f=0点a（0，0），b（4，0），c（3，1）在圆m上，则，解得：d=4，e=2，f=0abc外接圆的方程为x2+y24x+2y=0；（）由（）圆m的圆心为（2，1），半径为又，圆m的圆心到直线y=kx1的距离为，解得：k2=15，k=点评：本题考查了圆的一般式方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题19（14分）在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面四边形abcd为直角梯形，adbc，adab，pa=ad=2，ab=bc=1，q为pd中点（）求证：pdbq；（）求直线bq与平面pcd所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）建立以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴的空间直角坐标系，证明=0，即可证明pdbq；（）求出平面pcd的法向量，利用向量的夹角公式求直线bq与平面pcd所成角的正弦值解答：（）证明：因为pa平面abcd，所以paab，paad，又adab，如图，建立以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴的空间直角坐标系（2分）由已知，pa=ad=2，ab=bc=1，adbc所以a（0，0，0），b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2）（4分）又q为pd中点，所以q（0，1，1）所以=（0，2，2），=（1，1，1），所以=0，（6分）所以pdbq（7分）（）解：设平面pcd的法向量为=（a，b，c），则=（0，2，2），=（1，1，0），（9分）令c=1，得a=b=1，=（1，1，1）（11分）=（1，1，1），直线bq与平面pcd所成角的正弦值为=（14分）点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线bq与平面pcd所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键20（14分）已知椭圆w：+y2=1，直线l过点（0，2）与椭圆w交于两点a，b，o为坐标原点（）设c为ab的中点，当直线l的斜率为时，求线段oc的长；（）当oab面积等于1时，求直线l的斜率考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x2，代入椭圆方程，求出c的坐标，即可求线段oc的长；（）设直线l：y=kx2，代入椭圆方程，利用oab面积等于1时，求直线l的斜率解答：解：（）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x2（1分）代入椭圆方程得5x212x+6=0，（2分）设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x0，y0）则，（3分）所以点c的坐标，（4分）所以（5分）（）设直线l：y=kx2，由得（1+4k2）x216kx+12=0，（6分）所以=（16k）248（1+4k2）=16（4k23）（7分），（8分）=（10分）原点o到直线l的距离（11分）所以oab面积为因为oab面积等于1，所以，（12分）解得，（13分）带入判别式检验，符合题意，所以（14分）点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21（13分）在如图所示的几何体中，四边形abcd是矩形，ab=2bc=4，四边形cdef是等腰梯形，efdc，ef=2，且平面abcd平面cdef，afcf（）过bd与af平行的平面与cf交于点g求证：g为cf的中点；（）求二面角bafd的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质 专题：空间角分析：（）连接ac交bd于点h，连接gh利用线面平行的性质定理及三角形中位线定理可得结论；（）以o为原点建立空间直角坐标系oxyz所求值即为平面abf的法向量与平面adf的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可解答：（）证明：连接ac交bd于点h，abcd为矩形，则h为ac中点，连接ghaf平面bdg，平面acf平面bdg=gh，afhgg为cf的中点（）解：在平面cdef上作focd，垂足为o，平面cdef为等腰梯形，ab=4，ef=2，oc=1，平面abcd平面dcfe，fo平面abcd，在平面abcd中，作omcd交ab于m，所以foom，如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz则a（2，3，0），b（2，1，0），c（0，1，0），d（0，3，0）设f（0，0，h）（h0）afcf，=0，即（2，3，h）（0，1，h）=0，所以03+h2=0，解得h=设平面abf的法向量为=（a，b，c），而=（2，3，），=（0，4，0）