吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 正弦定理与余弦定理（1）学案 理.doc

正弦定理与余弦定理（1）一、 知识梳理：【必修五第2页第10页】1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在rtabc中，c= ，bc=a，ac=b，ab=c。（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：a+b=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sina=cosb= sinb=cosa= ,tana 2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，abc中，a、b、c为其内角，a、b、c分别表示a、b、c的对边。（1）、三角形内角之间的关系：a+b+c= ；sin(a+b)=sinc, cos(a+b)=-cosc;tan(a+b)=-tanc sin； cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2r (2r为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2r ； ； ； ； a：b：c= （4）、余弦定理：=-2bccosa; =-2accosb;-2abcosc; 余弦定理变形：cosa= ; cosb=; cosc=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinc=bcsina=casinb（3）、=2= （4）、= ；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用：（1）、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标线在水平线上方的角叫做仰角，目标线在水平线下方的角叫俯角。（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。（4）、距离、角度的测量测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。二、题型探究【探究一】：利用正余弦定理解三角形例1：【2015年课标2】（17）.（本小题满分12分）abc中，d是bc上的点，ad平分bac，abd是adc面积的2倍。()求 ；() 若ad=1,dc= ，求bd和ac的长.【试题解析】今年的高考题型有变化，17题原考核为三角函数或数列，2015年有调整，考查解三角形问题，本题重点考查了三角的解法及二个重要定理，具体考查了内分平分线的性质，三角形的面积公式，正弦定理和余弦定理及解题能力运算能力。 ()解： ,因为ad平分bac，所以又2，所以 ,在三角形abc中， 由正弦定理可得.()由内角平分线定理可得 ,因为 ,所以；在abd、adc中，则余弦定理得,又由，所以。例2: 【2014安徽】设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,a=2b.()求a的值；()求的值.（）因为，所以由正、余弦定理得 因为，所以，（）由余弦定理得由于，所以故例3: 【辽宁高考】在中，已知a、b、c分别表示a、b、c的对边，已知a，b，c成等比数列，且-=ac-bc ，求a及 (,)【探究二】:求三角形的面积例4：已知a、b、c分别表示a、b、c的对边，a，b，c成等差数列，cosa= ，b=（1）、求sinc的值（2）、求的面积。例5：已知三个内角a、b、c成等差数列，其外接圆的半径为1，且有sina-sinc+ cos(a-c)=（1）、求a，b，c大小；（2）、求的面积。因为三个内角a、b、c成等差数列，所以b=sina-sinc=2cos,所以= ,所以a-c= 又a+c=12，所以a= ，b=c=，（2）、求的面积。=2=例6：【课本题】已知三个内角a，b，c成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明为正三角形。【提示：本题可以有多种变形】【探究三】：判断三角形的形状例7：