高考数学一轮复习 题库大全专题强化训练（四） 文.doc

专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题1.(2015济南模拟)如图所示,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,adab,abc是正三角形,ac与bd的交点m恰好是ac的中点,n为线段pb的中点,g在线段bm上,且bggm=2.(1)求证:abpd.(2)求证:gn平面pcd.【证明】(1)因为pa平面abcd,所以paab,又因为adab,paad=a,所以ab平面pad,又pd平面pad,所以abpd.(2)因为abc是正三角形,且m是ac的中点,所以bmac.在直角三角形amd中,mad=30,所以md=12ad.在直角三角形abd中,abd=30,所以ad=12bd.所以md=14bd.又因为bggm=2,所以bg=gd,又n为线段pb的中点,所以gnpd,又gn平面pcd,pd平面pcd,所以gn平面pcd.2.(2015太原模拟)如图所示,abcd为矩形,da平面abe,ae=eb=bc=2,f为ce上的点,且bf平面ace,ac和bd交于点g.(1)求证:ae平面bfd.(2)求三棱锥c-bfg的体积.【解析】(1)由题意可得g是ac的中点,因为bf平面ace,所以bfce,又bc=be,所以f是ce的中点,所以fgae,又fg平面bfd,ae平面bfd,所以ae平面bfd.(2)由矩形abcd知adbc,因为ad平面abe,所以bc平面abe,所以bcae.因为bf平面ace,所以bfae,又bcbf=b,所以ae平面bce.由(1)知g是ac的中点,f是ce的中点,所以fgae且fg=12ae=1.所以fg平面bce.在rtbce中,bf=12ce=cf=2,所以scfb=1222=1.所以vc-bfg=vg-bcf=13scfbfg=1311=13.【加固训练】(2015长春模拟)在如图所示的几何体中,abc是边长为2的正三角形.若ae=1,ae平面abc,平面bcd平面abc,bd=cd,且bdcd.(1)求证:ae平面bcd.(2)求三棱锥d-bce的体积.【解析】(1)取bc的中点m,连接dm,am,因为bd=cd,所以dmbc,又因为平面bcd平面abc,bc为交线,所以dm平面abc,因为ae平面abc,所以aedm,又因为ae平面bcd,dm平面bcd,所以ae平面bcd.(2)由(1)知aedm,在bcd中,cdbd,cd=bd,所以md=12bc=1=ae,所以四边形amde是平行四边形,所以deam,且de=am=3,因为dm平面abc,所以dmam.又ambc,bcdm=m,所以am平面bcd,所以de平面bcd,则vd-bce=ve-bcd=13sbcdde=1312bcdmde=1312213=33.3.(2015天津模拟)如图,在边长为1的等边abc中,d,e分别是ab,ac边上的点,ad=ae,f是bc的中点,af与de交于点g,将abf沿af折起,得到如图所示的三棱锥a-bcf,其中bc=22.(1)证明:de平面bcf.(2)证明:cf平面abf.(3)当ad=23时,求三棱锥f-deg的体积vf-deg.【解析】(1)在等边abc中,ad=ae,所以addb=aeec,在折叠后的三棱锥a-bcf中也成立,所以debc.因为de平面bcf,bc平面bcf,所以de平面bcf.(2)在等边abc中,f是bc的中点,所以affc,bf=cf=12.因为在三棱锥a-bcf中,bc=22,所以bc2=bf2+cf2,cfbf.因为bfaf=f,所以cf平面abf.(3)由(1)可知gecf,结合(2)可得ge平面dfg.vf-deg=ve-dfg=1312dgfgge=131213(1332)13=3324.【加固训练】(2015佛山模拟)如图1,在直角梯形abcd中,adc=90,cdab,ad=cd=12ab=2,点e为ac中点,将adc沿ac折起,使平面adc平面abc,得到几何体d -abc,如图2所示.(1)求证:adbc.(2)在cd上找一点f,使ad平面efb.【解析】(1)在题图1中,可得ac=bc=22,从而ac2+bc2=ab2,所以acbc.因为平面adc平面abc,平面adc平面abc=ac,bc平面abc,所以bc平面adc.又ad平面adc,所以adbc.(2)取cd的中点f,连接ef,bf,在acd中,因为e,f分别为ac,dc的中点,所以adef,ef平面efb,ad平面efb,所以ad平面efb.4.已知等边abc的边长为3,点d,e分别在边ab,ac上,且满足addb=ceea=12,将ade沿de折叠到a1de的位置,使平面a1de平面bced,连接a1b,a1c.(1)证明:a1d平面bced.(2)在线段bd上是否存在点m,使得cm平面a1de?若存在,求出bm的长;若不存在,说明理由.【解题提示】(1)由平面a1de平面bced,只需证明dea1d即可.(2)过c作bd边的垂线,垂足为所求,然后证明确认.【解析】(1)在abc中,addb=ceea=12,得ad=ce=1,bd=ae=2,在ade中,a=60,ad=1,ae=2,由余弦定理得de=3,于是ae2=ad2+de2,故ade为直角三角形,且dead,折叠后dea1d.因为平面a1de平面bced,平面a1de平面bced=de,a1d平面a1de,所以a1d平面bced.(2)过c作bd边的垂线,垂足即为所求的点m.证明如下:由(1)可知deab,于是decm,因为cm平面a1de,de平面a1de,所以cm平面a1de,因为abc为等边三角形,且cmbd,所以bm=12ba=32.5.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、侧视图、俯视图,在直观图中,m是bd的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求该几何体的体积.(2)求证:em平面abc.(3)试问在棱dc上是否存在点n,使mn平面bde?若存在,确定点n的位置;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)根据直观图与三视图的关系,确定相关线段的长度及线线、线面的位置关系,确定几何体的高.(2)取bc的中点g,证明四边形agme为平行四边形,利用线面平行的判定定理证明.(3)假设在棱dc上存在点n,使mn平面bde,通过相关的性质及相似三角形的性质确定n点的位置.【解析】由题意知,ea平面abc,dc平面abc,aedc,ae=2,dc=4,abac且ac=ab=2.(1)因为ea平面abc,所以eaab,又因为abac,eaac=a,所以ab平面acde.所以四棱锥b-acde的高h=ab=2,又梯形acde的面积s=6.所以vb-acde=13sh=4. (2)取bc的中点g,连接em,mg,ag,因为m为db的中点,所以mgdc,且mg=12dc.所以mgae,mg=ae,所以四边形agme为平行四边形,所以emag.又em平面abc,ag平面abc,所以em平面abc.(3)由(2)知emag,又因为平面bcd底面abc,agbc,所以ag平面bcd,em