高考数学专题复习 专题二 数列.doc

2016年高考数学专题二：数列一等差数列和等比数列的性质对照表等差数列性质等比数列性质1、定义； ；2、通项公式（第二通项公式3、前n项和4、中项a、a、b成等差数列a=；是其前k项与后k项的等差中项，即：=a、a、b成等比数列（不等价于，只能）;是其前k项与后k项的等比中项，即：5、下标和公式若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：7、结论 为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列 为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列,的公差分别为,则数列仍为等差数列，公差为（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列,的公比分别为,则数列仍为等比数列，公差为取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为 7取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为若则无此性质；若则无此性质；若无此性质；成等差数列，公差为成等比数列，公比为当项数为偶数时， 当项数为奇数 当项数为偶数时，当项数为奇数时， 8、等差(等比)数列的判断方法定义法：等差中项概念；函数法：关于n的一次函数数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；数列的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列是等差数列， 定义法：等差中项概念；函数法：(均为不为0的常数，)，则数列是等比数列数列的前n项和形如(均为不等于0的常数且q1)，则数列是公比不为1等比数列9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列二、数列的通项公式各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。总结出几种求解数列通项公式的方法。1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.2.公式法：已知求，用作差法：。（合并的一定要合并，不能合并的分开写）。例2已知的前项和满足，求3.作商法：已知求，用作商法：。例3.数列中，对所有的都有，则_ ；4.累加法：若求：。例4. 已知数列满足，求。如已知数列满足，则=_ ；5.累乘法：已知求，用累乘法：例5. 已知数列满足，求。如已知数列中，前项和，若，求6.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如、（为常数）等的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例5. 已知数列中，求.解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：构造等差数列求解。例6.（2008年全国卷，19）；在数列an中，a1=1, an+1=2an+2n.（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。例7：,3、 数列求和（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。2公式法： 3错位相减法：比如4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； 5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合并求和法：如求的和。7倒序相加法：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.一、错位相减法求和【例1】(2011辽宁)已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和裂项相消法求和【例2】（2010山东高考理科18）已知等差数列满足：，的前n项和为（1）求及；（2）令 (nn*)，求数列的前n项和 分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.【例3】求和： 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.【例1】已知函数（1）证明：；（2）求的值.典型例题讲解：1、 用定义证明等差或等比数列例1（2012陕西卷）设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（）求数列的公比； （）证明：对任意，成等差数列.2、 用构造法求数列通项例二、（2012全国大纲20）设数列满足且. （1）求的通项公式； (2)设.3、 用求通项或前n项和例三、（2011湖北卷）已知数列的前项和为，且满足：， n*，.（）求数列的通项公式； （）若存在，使得，成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.4、 与等差数列最值有关的问题例四、（2008年17）已知是一个等差数列，且，（）求的通项； （）求前n项和sn的最大值五、与数列前n项和有关的问题例五、（1）（2011全国课标理17）等比数列的各项均为正数，且(i)求数列的通项公式.(ii)设 求数列的前项和.（2）（2011辽宁理17） 已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10（i）求数列an的通项公式；（ii）求数列的前n项和（练熟错位相减法）6、 其它例六、（2012年广东卷）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式新课标历年数列高考试题1、（2008年4）设等比数列的公比q=2，前n项和为sn，则=（ ）a bcd2、（2008年17）（本小题满分12分）已知是一个等差数列，且，（）求的通项； （）求前n项和sn的最大值3、（2009、16）.等差数列an的前n项和为sn,已知am1+am+1am20,s2m138,则m_4、(2010年17)(本小题满分l2分)设数列满足， （)求数列的通项公式：（）令，求数列的前n项和.5、（2011年文17)（本小题满分12分已知等比数列中，公比（i）为的前n项和，证明：（ii）设，求数列的通项公式6、（2011年理17）（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且（)求数列的通项公式；（）设 求数列的前n项和.7、（2012年5理）已知为等比数列，则（ ） 8、（2012年16理12文）数列满足，则的前项和为 9、(2013课标全国，文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和sn满足s30，s55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和10、2014新课标全国卷 已知数列