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等比数列的前n项和 4 5 6 7 8 1 4 5 6 7 8 1 2 3 3 2 64个格子 你认为国王有能力满足上述要求吗 每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子 麦粒总数 1844 6744 0737 0955 1615 18446744073709551615 粒 人们估计 全世界两千年也难以生产这么多麦子 假定千粒麦子的质量为10g 那么麦粒的总质量超过了7000亿吨 复习导入 1 等比数列的定义an 1 an qan a1qn 12 数列的和sn a1 a2 ansn 1 a1 a2 an 1an sn sn 1 n 1 这些你都记得吗 sn a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 qsn a1q a1q2 a1q3 a1qn 1 a1qn 两式相减有 1 q sn a1 a1qn 等比数列前n项和公式的推导 由等比数列的通项公式an a1qn 1 又可以得到 显然 当q 1时 sn na1 错位相减法 等比数列前n项和公式 由sn an q a1 n知三而可求二 或 当q 1时 sn na1 例题分析 例1 在等比数列 an 中 1 已知a1 4 q 1 2 求s10 2 已知a1 1 ak 243 q 3 求sk 印度还有一古老传说 在世界中心贝拿勒斯 在印度北部 的圣庙里 一块黄铜板上插着三根宝石针 印度教的主神梵天在创造世界的时候 在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片 这就是所谓梵塔 不论白天黑夜 总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片 一次只移动一片 不管在哪根针上 小片必须在大片上面 当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时 世界就将在一声霹雳中消灭 梵塔 庙宇和众生都将同归于尽 不管这个传说是否可信 如果考虑一下把64片金片 由一根针上移到另一根针上 并且始终保持上小下大的顺序 一共需要移动多少次 那么 不难发现 不管把哪一片移到另一根针上 移动的次数都要比移动上面一片增加一倍 这样 移动第1片只需1次 第2片则需2次 第3片需4次 第64片需2的63次方次 全部次数为 18446744073709551615次这和 麦粒问题 的计算结果是完全相同的 假如每秒钟移动一次 共需要多长时间呢 一年大约有31556926秒 计算表明 移完这些金片需要5800多亿年 用数学的观点看问题 一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释 从而帮助我们用科学的态度认识世界 小结 等比数列的
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