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楚水实验学校高一数学备课组 抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式 只给出了其他一些条件 如 定义域 经过的特殊的点 解析递推式 部分图象特征等 它是高中数学函数部分的难点 也是与大学的一个衔接点 因无具体解析式 理解研究起来往往很困难 但利用函数模型往往能帮我们理清题意 寻找解题思路 从而方便快捷的解决问题 函数f x 为定义在r上的奇函数 在 0 上单调递增 且f 3 0 则不等式f x 0的解集为 3 3 提示 可以描绘大致图形如右 3 0 3 奇函数f x 的定义域为 1 1 且当x 1是函数递增 若f 2 0 求不等式f x 1 0的解集 练习 3 1 1 3 f x 的定义域为r 且对任意都有f x y f x f y 又当x 0时 f x 0且f 2 1 1 求f 0 的值 2 判断并证明函数的奇偶性 3 求函数在 6 6 上的值域 0 奇 3 3 4 f x 的定义域为 0 且对任意都有f xy f x f y 又当x 1时 f x 0且f 3 1 1 求f 1 的值 2 判断f x 的单调性 4 若f x 8 f x 2求x的取值范围 0 增 x 1 1 解决抽象函数的方法和技巧多种多样 如 合理赋值 整体思考 借助特殊点 利用递推式等 有的时候需要运用多种方法和手段 2 在证明单调性时经常有下面两个变形 1 定义在 1 1 上的函数f x 对任意的x y 1 1 都有判断函数的奇偶性 2 已知函数f x 对于一切正实数x y都有f xy f x f y 且x 1时 f x 1 f 2 1 9 1 证 f x 0 2 求证 f x 1 f x 1 3 求证 f x 在 0 上为单调减函数 4 若f m 9 试求m的值 4 f x 的定义域为r 且对任意都有f x y f x f y 又当x 0时 f x 1且f 0 0 1 求f 0 的值 2 证明对任意x都有f x 0 3 证明 f
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