第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 6 1数字滤波器的基本概念6 2模拟滤波器的设计6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计 学习目标 1 理解数字滤波器 DF 的基本概念2 掌握模拟滤波器 AF 设计方法3 理解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法4 掌握利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法 6 1数字滤波器DF的基本概念 一 数字滤波器的定义 指输入 输出均为数字信号 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分的数字器件或程序 数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程 数字滤波的概念和模拟滤波相同 只是信号的形式和实现滤波方法不同 数字滤波通过数值运算实现滤波 所以数字滤波器处理精度高 稳定 体积小 重量轻 灵活 不存在阻抗匹配问题 可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能 如果要处理的是模拟信号 可通过A DC和D AC 在信号形式上进行匹配转换 同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波 二 数字滤波器的分类按照不同的分类方法 数字滤波器有许多种类 但总起来可以分成两大类 经典滤波器现代滤波器 1 经典滤波器经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带 通过一个合适的选频滤波器滤除干扰 得到纯净信号 达到滤波的目的1 从功能上分 低通LP 高通HP 带通BP 带阻BS2 从实现的网络结构或单位脉冲响应 N 1 阶 N阶 IIR FIR 图6 1 1用经典滤波器从噪声中提取信号 2 现代滤波器 信号与干扰信号频带相互重叠 按随机信号内部的统计分布规律 从干扰中最佳提取信号 现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性 在某种最佳准则下 最大限度地抑制干扰 同时最大限度地恢复信号 从而达到最佳滤波的目的 维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等 本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法 而现代滤波器属于随机信号处理范畴 已超出本书学习范围 P 152图6 1 1理想低通 高通 带通 带阻滤波器幅度特性 三 理想数字滤波器的特性 H ej 以2 为周期 数字滤波器与模拟滤波器最大的区别 对于数字滤波器 只给出 区间上的设计指标若h n 为实数 则幅频响应是关于 0或 对称的滤波器的低通频带处于2 整数倍处 高频频带处于 的奇数倍附近 通带 阻带 一般在数字频率的主值区 描述数字滤波器的频率响应特性 低通 高通 带通 带阻 滤波器类型 1 1 0 1 1 0 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 假设数字滤波器的传输函数H ej 用下式表示 四 数字滤波器的技术要求 低通滤波器幅频特性 幅频特性 H ej 相频特性 传输函数H ej 由二个参量来表征 1 幅度平方响应 幅频特性 2 群延时 相位响应 相频特性 幅频特性 表示信号通过滤波器后频率成份衰减情况 本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计 即根据幅度平方响应来设计 相频特性 反映各频率成份通过滤波器后在时间上的延时情况 即使两个滤波器幅频特性相同 而相频特性不一样 对相同的输入 滤波器输出的信号波形也是不一样的 如果对输出波形有要求 则需要考虑相频特性的技术指标 例如语音合成 波形传输 图像信号处理等对波形有严格的要求 则需要设计线性相位数字滤波器 群延时是滤波器平均延迟的一个度量 定义为相频特性对角频率 的一阶导数的负值 即 低通滤波器的性能指标 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图 1 为通带的容限 波纹 2 为阻带的容限 理想滤波器是非因果的 其单位脉冲响应从 延伸到 因此 无论用递归还是非递归方法 理想滤波器是不能实现的 可实现滤波器的性能要求 以频率响应的幅度特性的允许误差来表征可实现滤波器的频率响应有通带 阻带及过渡带三个范围 而不是理想的陡截止的通带 阻带两个范围 通带 阻带 通带频率范围为0 p 要求 1 1 H ej 1阻带频率范围为 s 要求 H ej 2过渡带频率范围为 p s过渡带上的频响一般是单调下降的 通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示 通带内允许的最大衰减用 p表示 阻带内允许的最小衰减用 s表示 对低通滤波器 p和 s分别定义为 低通滤波器 p越小 通带波纹越小 通带逼近误差就越小 s越大 阻带波纹越小 阻带逼近误差就越小 p与 s间距越小 过渡带就越窄 低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率 p 通带最大衰减 p 阻带边界频率 s和阻带最小衰减 s确定 通带 0 p 幅频响应以最大误差 1逼近于1通带内允许的最大衰减 波纹 用 p表示 定义为 6 1 3 6 1 4 阻带 s 幅频响应以误差小于 2而逼近于0 H ej 2阻带内允许的最小衰减用 s表示 s定义为 过渡带 p s 一般为单调下降 或 H ej0 归一化为1 通带 0 p 1 1 H ej 1通带内允许的最大衰减 p为 阻带 s H ej 2阻带内允许的最小衰减 s为 c 3dB通带截止频率 c s p统称边界频率 H ej0 归一化为1 对于选频型滤波器 一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求 只要求其波纹幅度小于某个常数 通常将这种要求称为 片段常数特性 所谓片段 是指 通带 和 阻带 常数是指 通带波纹幅度 1 和 阻带波纹幅度 2 而通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s是与 1和 2完全等价的两个常数 片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要 尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想 片段常数特性 五 数字滤波器设计方法概述 理想的带限滤波器 h n 是一非因果的 无法实现 一般采用逼近技术来设计实际的滤波器 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法相差较大 IIR滤波器的设计 经典设计方法 借助模拟滤波器 先设计模拟滤波器得到传输函数Ha s 然后将Ha s 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H z 即 Ha s H z 计算机辅助设计FIR滤波器的设计 窗函数法 频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法 6 2模拟滤波器 AF 的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 典型的滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用 典型的模拟滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse Cauer 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 设计滤波器 就是要确定其系统函数 在系统函数H s 已知后 则可以确定系统的频率响应 幅频特性和相位特性 1 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 其特点是从通带中心向两边幅频特性单调下降 2 切比雪夫 型 Chebyshev 滤波器 通带内有等波纹幅频特性函数 阻带内有单调下降的幅频特性函数 3 切比雪夫 型 Chebyshev 滤波器 通带内有单调下降的幅频特性函数 阻带内有等波纹幅频特性函数 4 椭圆滤波器 Ellipse 又称考尔 Cauer 滤波器或双切比雪夫滤波器 通带和阻带内均有等波纹幅频特性 5 贝塞尔 Bessel 滤波器 又称最大平坦群时延滤波器 其特点是在通带中心 0附近逼近线性相位特性 可以证明 一个系统函数不能同时逼近理想滤波器的幅频特性和相位特性 以上5种典型滤波器中 前4种是逼近幅度特性 第5种逼近相位特性 对相同的指标要求 对前4种幅度特性逼近滤波器 巴特沃斯滤波器阶数最高 切比雪夫次之 椭圆滤波器阶数最低 当阶数相同时 巴特沃斯滤波器截止特性最平坦 过渡带最宽 椭圆滤波器截止特性最陡峭 即过渡带最窄 典型滤波器的特点 图6 2 1各种理想滤波器的幅频特性 模拟滤波器的一般设计过程 1 根据信号处理要求确定设计指标 2 选择滤波器类型 3 计算滤波器阶数 4 通过查表或计算确定滤波器系统函数Ha s 5 综合实现并装配调试 本书中 分别用ha t a s Ha j 表示模拟滤波器的单位冲激响应 系统函数 频率响应函数 三者的关系如下 可以用ha t Ha t Ha j 中任一个描述模拟滤波器 也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器 设计模拟滤波器时 设计指标一般由幅频响应函数 Ha j 给出 而模拟滤波器设计就是根据设计指标 求系统函数Ha s 6 2 1模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 工程实际中通常用所谓的损耗函数 也称为衰减函数 A 来描述滤波器的幅频响应特性 对归一化幅频响应函数 本书后面都是针对该情况 特别说明的除外 A 定义如下 其单位是分贝 用dB表示 应当注意 损耗函数A 和幅频特性函数 Ha j 只是滤波器幅频响应特性的两种描述方法 损耗函数的优点是对幅频响应 Ha j 的取值非线性压缩 放大了小的幅度 从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况 二者的特点如图6 2 2所示 图6 2 2 a 所示的幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小 0 001以下 的波纹 而图6 2 2 b 所示的同一个滤波器的损耗函数则能很清楚地显示出阻带 60dB以下的波纹变化曲线 另外 直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反 所以 习惯将 A 曲线称为损耗函数 本书中也如此称谓 如图6 2 2 b 所示 6 2 1 图6 2 2幅频响应与损耗函数曲线的比较 通带 0 p p称为通带截止频率 p是通带中的最大衰减系数阻带 s s称为阻带截止频率 s是阻带的最小衰减系数 p和 s一般用dB数表示 对于单调下降的幅度特性 可表示成 6 2 1 6 2 2 模拟低通滤波器的设计指标有 p p s和 s 如果 0处幅度已归一化到1 即 Ha j0 1 p和 s表示为 6 2 3 6 2 4 模拟低通滤波器的设计指标参数有 p p s和 s 其中 p和 s分别称为通带边界频率和阻带截止频率 p称为通带最大衰减 即通带 0 p 中允许A 的最大值 s称为阻带最小衰减 即阻带 s上允许A 的最小值 p和 s的单位为dB 以上技术指标如图6 2 3所示 图 a 以幅频特性描述 图 b 以损耗函数描述 图6 2 3模拟低通滤波器的设计指标参数示意图 滤波器的技术指标给定后 需要设计一个传输函数Ha s 希望其幅度平方函数满足给定的指标 p和 s 一般滤波器的单位冲激响应为实数 6 2 5 因此 幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用 典型模拟滤波器的幅度平方函数不同 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 Ha j 2用下式表示 6 2 6 2 巴特沃斯低通滤波器幅度特性 6 2 2巴特沃斯低通滤波器的设计方法1 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 N为正整数 代表滤波器的阶数 当 c时 不管N为多少 所有的特性曲线都通过 3dB点 或者说衰减为3dB 巴特沃斯低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性 即N阶巴特沃思低通滤波器在 0处幅度平方函数 Ha j 2的前 2N 1 阶导数为零 因而巴特沃思滤波器又称为最平幅度特性滤波器 随着 由0增大 Ha j 2单调减小 N越大 通带内特性越平坦 过渡带越窄 将幅度平方函数 Ha j 2写成s的函数 6 2 7 6 2 8 极点sk表示为 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 k 1 2 2N 巴特沃思滤波器的零点全部在s 处 在有限S平面内只有极点 因而属于所谓 全极点型 滤波器 幅度平方函数的2N个极点象限对称等间隔分布在半径为 c的圆 称巴特沃思圆 上 极点间的角度间隔为 Nrad极点不会落在虚轴上 保证了系统的稳定性N为奇数则实轴上有极点 N为偶数实轴上无极点 3 巴特沃斯低通滤波器的传输函数1 Ha s 2的极点分布 为形成稳定的滤波器 2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha s 而右半平面的N个极点构成Ha s Ha s 的表示式为 例如 N 3 极点有6个 它们分别为 取s平面左半平面的极点s0 s1 s2组成Ha s 2 稳定系统Ha s 的表达式 由于各滤波器的幅频特性不同 为使设计统一 将所有的频率归一化 采用对3dB截止频率 c归一化 归一化后的Ha s 表示为式中 s c j c 令 c 称为归一化频率 令p j p称为归一化复变量 p s c 6 2 10 6 2 11 6 2 12 归一化极点pk 归一化巴特沃斯的传输函数为 3 归一化N阶低通滤波器的传递函数Ha s 4 巴特沃斯滤波器阶数N和3dB截止频率 c的确定 6 2 16 6 2 17 一般模拟低通滤波器的设计指标由参数 p ap s和as给出 设计巴特沃思滤波器的实质就是为了求得由这些参数所决定的滤波器阶次N和截止频率 c1 滤波器阶数N的确定 令 N由下式表示 6 2 18c 用上式求出的N可能有小数部分 应取大于等于N的最小整数 整理 6 2 18a 6 2 18b p 6 2 17 6 2 18 2 3dB截止频率 c的确定 p精确地满足指标要求 s指标有富裕量 s精确地满足指标要求 p指标有富裕量 s 5 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 1 根据技术指标 p p s和 s 求出滤波器的阶数N 2 确定归一化传输函数Ha p 方法1 求归一化极点pk 方法2 由N 查表6 2 1p1573 Ha p 去归一化 将p s c代入Ha p 得到实际的滤波器传输函数Ha s 表6 2 1巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例6 2 1已知通带截止频率fp 5kHz 通带最大衰减 p 2dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 30dB 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 解 1 确定阶数N 2 确定极点 归一化传输函数为 直接查表6 2 1 由N 5查表得到 极点 0 3090 j0 9511 0 8090 j0 5878 1 0000 或系数 b0 1 0000 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 5 2361 b4 3 2361 直接计算极点法 上式分母可以展开成为五阶多项式或者将共轭极点放在一起 形成因式分解形式 3 Ha p 去归一化为将Ha p 去归一化 先求3dB截止频率 c 将 c代入 6 2 18 式 得到 将p s c代入Ha p 中得到 p精确地满足指标要求 s指标有富裕量 例巴特沃斯低通滤波器的技术指标为 通带边界频率fp 400Hz 通带最小衰减ap 0 5dB阻带截止频率fs 1000Hz 阻带最小衰减as 40dB 3dB截止频率fc 500Hz 设计巴特沃斯低通滤波器 解 1 求阶数N和3dB截止频率 c 计算3dB截止频率 c 取N 7 2 求系统函数 查表得到 N 7 其中 b 3 8662 1024 分母多项式系数如下表 MATLAB信号处理工具箱函数buttap buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数 其5种调用格式如下 1 Z P K buttap N 该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化 3dB截止频率 c 1 模拟低通原型滤波器系统函数的零 极点和增益因子 返回长度为N的列向量Z和P 分别给出N个零点和极点的位置 K表示滤波器增益 得到的系统函数为如下形式 用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 6 2 21 式中 Z k 和P k 分别为向量Z和P的第k个元素 如果要从计算得到的零 极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A 可以调用结构转换函数 B A zp2tf Z P K 2 N wc buttord wp ws Rp As 该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc 调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值 要求0 wp 1 0 ws 1 1表示数字频率 对应模拟频率Fs 2 Fs表示采样频率 Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减 dB 当ws wp时 为高通滤波器 当wp和ws为二元矢量时 为带通或带阻滤波器 这时wc也是二元向量 N和wc作为butter函数的调用参数 3 N wc buttord wp ws Rp As s 该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率wc wp ws和wc是实际模拟角频率 rad s 其他参数与格式2 相同 4 B A butter N wc ftype 计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A 调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值 关于 归一化 一般按格式2 调用函数buttord计算N和wc 由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数 6 2 22 式中 B k 和A k 分别为向量B和A的第k个元素 5 B A butter N wc ftype s 计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A 调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率 实际角频率 由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为 6 2 23 由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3dB截止频率wc 因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波器 当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻 所以用参数ftype来区分 ftype high时 设计3dB截止频率为wc的高通滤波器 缺省ftype时默认设计低通滤波器 ftype stop时 设计通带3dB截止频率为wc的带阻滤波器 此时wc为二元向量 wcl wcu wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率 缺省ftype时设计带通滤波器 通带为频率区间wcl wcu 应当注意 设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶的 这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联 例6 2 2 调用buttord和butter设计巴特沃斯低通模拟滤波器 要求与例6 2 1相同 设计程序ep622 m如下 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 设置滤波器参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算滤波器阶数N和3dB截止频率 B A butter N wc s 计算滤波器系统函数分子分母多项式系数 k 0 511 fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B A wk subplot 2 2 1 plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridon xlabel 频率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 40 5 运行结果 N 5 wc 3 7792e 004 B 7 7094e 022 A 11 2230e 0057 4785e 0092 8263e 0146 6014e 0187 7094e 022 将B和A代入 6 2 23 式写出系统函数为 与例6 2 1计算结果形式相同 滤波器的损耗函数曲线如图6 2 6所示 由图可以看出 阻带刚好满足指标要求 通带指标有富余 这就说明buttord函数使用 6 2 20 式计算3dB截止频率 图6 2 6程序ep622 m运行输出的损耗函数 例6 2 1的设计结果 6 2 3切比雪夫滤波器的设计方法巴特沃思滤波器存在的问题 巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化 因而如果在通带边缘满足指标 则在通带内肯定会有富裕量 也就会超过指标的要求 因而并不经济 改进 将指标的精度要求均匀地分布在通带内 或均匀地分布在阻带内 或同时均匀地分布在通带与阻带内 这样 在同样通带 阻带性能要求下 就可设计出阶数较低的滤波器 这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现 切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中 通带或阻带 具有等波纹特性 幅度特性在通带中是等波纹的 在阻带中是单调的 称为切比雪夫 型 幅度特性在通带内是单调下降的 在阻带内是等波纹的 称为切比雪夫 型 由应用的要求来确定采用哪种形式的切比雪夫滤波器 切比雪夫 型低通滤波器的幅度特性 切比雪夫 型低通滤波器的幅度特性 1 切比雪夫 型滤波器的幅度平方函数切比雪夫 型滤波器幅度平方函数用A2 表示 6 2 24 切比雪夫 型滤波器幅频特性 为小于1的正数 表示通带内幅度波动的程度 愈大 波动幅度也愈大 p称为通带截止频率令 p 称为对 p的归一化频率 CN 称为N阶切比雪夫多项式 1 切比雪夫 型滤波器的设计方法 CN x 称为N阶切比雪夫多项式 定义为 当N 0时 C0 x 1 当N 1时 C1 x x 当N 2时 C2 x 2x2 1 当N 3时 C3 x 4x3 3x 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN 1 x 2xCN x CN 1 x 6 2 25 切比雪夫多项式特性 1 切比雪夫多项式的过零点在 x 1的范围内 2 当 x 1时 CN x 是双曲线函数 随x单调上升 2 p时 即所有幅度函数曲线都通过点 所以把 p定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率 在这个截止频率下 幅度函数不一定下降3dB 可以是下降其他分贝值 这是与巴特沃思滤波器不同之处 2 切比雪夫I滤波器的幅度函数的特点 1 当 0 当N为偶数时 当N为奇数时 Ha j0 1 3 在通带内 即当 p时 则 p 1 Ha j 在之间等波纹地起伏 4 在通带之外 即当 p时 随着 的增大 迅速满足 2CN2 P 1使 Ha j 迅速单调地趋近于零 3 切比雪夫 型滤波器的设计过程平方幅度函数与三个参数即 p和N有关 与通带内允许的波动大小有关 定义允许的通带波纹 用下式表示 6 2 26 因此 6 2 27 设阻带的起始点频率 阻带截止频率 用 s表示 6 2 28 令 s s p 由 s 1 有 6 2 29 6 2 30 可以解出 3dB截止频率用 c表示 通常取 c 1 因此 上式中仅取正号 得到3dB截止频率计算公式 6 2 26 确定 p 和N后 可查阅有关模拟滤波器手册 求出滤波器的极点 并确定Ha p 令p s p 系统函数Ha s Ha p p s p Ha s 的极点为si i j i 则 6 2 27 式中 6 2 28 极点求解的过程 不要求 椭圆方程 长半轴为 pch 在虚轴上 短半轴为 psh 在实轴上 令b p和a p分别表示长半轴和短半轴 可推导出 6 2 29 6 2 30 6 2 31 图6 2 8三阶切比雪夫滤波器的极点分布 为稳定 用左半平面的极点构成Ha p 即 6 2 32 式中c是待定系数 根据幅度平方函数式可导出 c 2N 1 6 2 33a 去归一化后的传输函数为 6 2 33b 设N 3 平方幅度函数的极点分布 令p s p 确定Ha p 归一化的传输函数为 4 切比雪夫 型滤波器设计步骤 1 确定技术要求 p p s和 s p是 p时的衰减系数 s是 s时的衰减系数 6 2 41 6 2 42 p是通带波纹 归一化频率 令 6 2 43 6 2 44 2 求滤波器阶数N和参数 最后取大于等于N的最小整数 归一化传输函数 4 将Ha p 去归一化 得到实际的Ha s 6 2 46 6 2 47 求 这里 p 2 100 1 1 3 求归一化传输函数Ha p 归一化极点可查表 先求出归一化极点pk k j k 令p s p 6 2 45 低通切比雪夫滤波器的设计小结 已知的技术指标一般有三个 通带内波纹起伏 dB 3dB截止频率 c 在阻带 s处的衰减为 sdB 步骤 由技术指标确定 N P165 根据N查表得归一化的Ha p 将p用s c替换 得到Ha s 例6 2 2设计低通切比雪夫滤波器 要求通带截止频率fp 3kHz 通带最大衰减 p 0 1dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 60dB 解 1 滤波器的技术要求 2 求阶数N和 3 求Ha p 求出N 5时的极点pi 4 将Ha p 去归一化 切比雪夫 型滤波器MATLAB信号处理工具箱函数cheb1ap cheb1ord和cheby1是切比雪夫 型滤波器设计函数 其调用格式如下 1 z p k cheb1ap N Rp 2 N wpo cheb1ord wp ws Rp As 3 N wpo cheb1ord wp ws Rp As s 4 B A cheby1 N Rp wpo ftype 5 B A cheby1 N Rp wpo ftype s 2 用MATLAB设计切比雪夫滤波器 切比雪夫 型滤波器设计函数与前面的巴特沃思滤波器设计函数比较 只有两点不同 一是这里设计的是切比雪夫 型滤波器 二是格式2 和3 的返回参数与格式4 和5 的调用参数wp是切比雪夫 型滤波器的通带截止频率 而不是3dB截止频率 其他参数含义与巴特沃思滤波器设计函数中的参数相同 系数向量B和A与数字和模拟滤波器系统函数的关系由 6 2 22 和 6 2 23 式给出 6 2 22 6 2 23 切比雪夫 型MATLAB信号处理工具箱函数cheb2ap cheb2ord和cheby2是切比雪夫 型滤波器设计函数 其调用格式如下 1 z p G cheb2ap N Rs 该格式用于计算N阶切比雪夫 型归一化 阻带截止频率 s 1 模拟低通滤波器系统函数的零 极点和增益因子 返回长度为N的列向量z和p 分别给出N个零点和极点的位置 G表示滤波器增益 Rs是阻带最小衰减 dB 2 N wso cheb2ord wp ws Rp As 该格式用于计算切比雪夫 型数字滤波器的阶数N和阻带截止频率wso 调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值 要求0 wp 1 0 ws 1 1表示数字频率 对应模拟频率Fs 2 Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减 dB 当ws wp时 为高通滤波器 当wp和ws为二元矢量时 为带通或带阻滤波器 这时wso也是二元向量 N和wso作为cheby2的调用参数 3 N wso cheb2ord wp ws Rp As s 该格式用于计算切比雪夫 型模拟滤波器的阶数N和阻带截止频率wso wp ws和wso是实际模拟角频率 rad s 其他参数与格式2 相同 4 B A cheby2 N Rs wso ftype 该格式用于计算N阶切比雪夫 型数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A 调用参数N和wso分别为切比雪夫 型数字滤波器的阶数和阻带截止频率的归一化值 关于 归一化 一般调用函数cheb2ord计算N和wso 5 B A cheby2 N Rp wso ftype s 该格式用于计算N阶切比雪夫 型模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A 调用参数N和wso分别为N阶切比雪夫 型模拟滤波器的阶数和阻带截止频率 实际角频率 ftype的定义与巴特沃思滤波器设计函数中的ftype相同 例6 2 3 设计切比雪夫 型和切比雪夫 型模拟低通滤波器 要求与例6 2 2相同 解设计程序ep623 m如下 例6 2 3设计程序 ep623 m 设计切比雪夫 型模拟低通滤波器 wp 2 pi 3000 ws 2 pi 12000 Rp 0 1 As 60 设置指标参数 N1 wp1 cheb1ord wp ws Rp As s 计算切比雪夫 型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率 B1 A1 cheby1 N1 Rp wp1 s 计算切比雪夫 型模拟低通滤波器系统函数系数 subplot 2 2 1 fk 0 12000 512 12000 wk 2 pi fk Hk freqs B1 A1 wk plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridon xlabel 频率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 12 70 5 运行结果 N 5 切比雪夫 型模拟低通滤波器通带边界频率 wp1 1 8850e 004 切比雪夫 型模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数 B 1 2187e 011 A 13 2873e 0049 8445e 0081 6053e 0131 8123e 0179 7448e 020 滤波器损耗函数如图6 2 9所示 图6 2 9五阶切比雪夫 型模拟低通滤波器损耗函数 例6 2 3的设计结果 椭圆 Elliptic 滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性 椭圆滤波器的极点位置与经典场论中的椭圆函数有关 所以由此取名为椭圆滤波器 又因为在1931年考尔 Cauer 首先对这种滤波器进行了理论证明 所以其另一个通用名字为考尔 Cauer 滤波器 6 2 4椭圆滤波器的设计 由图 a 可见 椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时 阶数越高 过渡带越窄 由图 b 可见 当椭圆滤波器阶数固定时 通带和阻带波纹幅度越小 过渡带就越宽 椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率 p 阻带边界频率 s 通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s共同决定 后面对五种滤波器的比较将证实 椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近 是一种性能价格比最高的滤波器 所以应用非常广泛 椭圆滤波器逼近理论是复杂的纯数学问题 该问题的详细推导已超出本书的范围 只要给定滤波器指标 通过调用MATLAB信号处理工具箱提供的椭圆滤波器设计函数 就很容易得到椭圆滤波器系统函数和零极点位置 MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipap ellipord和ellip 其调用格式如下 1 z p k ellipap N Rp As 用于计算N阶归一化 通带边界频率wp 1 模拟低通椭圆滤波器的零点向量z 极点向量p和增益因子k Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减 dB 返回长度为N的列向量z和p分别给出N个零点和N个极点的位置 MATLAB 2 N wpo ellipord wp ws Rp As 用于计算满足指标的椭圆数字滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo 指标要求由参数 wp ws Rp As 给定 参数 wp ws Rp As 的定义与巴特沃思滤波器设计函数buttord中的相应参数相同 3 N wpo ellipord wp ws Rp As s 用于计算满足指标的椭圆模拟滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo 4 B A ellip N Rp wpo ftype 当wpo是表示滤波器通带边界频率的标量 而且缺省参数ftype时 该格式返回N阶低通椭圆数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A 滤波器通带波纹为RpdB 当ftype high时 返回N阶高通椭圆数字滤波器系统函数系数向量B和A 当wpo是表示带通滤波器通带边界频率的二元向量 而且缺省参数ftype时 该格式返回2N阶带通椭圆数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A 滤波器通带波纹为RpdB 当ftype stop时 返回2N阶带阻椭圆数字滤波器系统函数系数向量B和A 二元向量参数wpo表示阻带上下边界频率 5 B A ellip N Rp wpo ftype s 计算椭圆模拟滤波器系统函数系数向量B和A 当然 其中的边界频率均为实际模拟角频率值 rad s 例6 2 4 设计椭圆模拟低通滤波器 要求与例6 2 2相同 设计程序ep624 m 如下 椭圆滤波器设计程序 wp 2 pi 3000 ws 2 pi 12000 Rp 0 1 As 60 设置指标参数 N wpo ellipord wp ws Rp As s 计算椭圆低通模拟滤波器阶数和通带边界频率 B A ellip N Rp As wpo s 计算低通模拟滤波器系统函数系数 省去以下绘图部分运行结果 椭圆模拟低通滤波器阶数 N 4 模拟低通滤波器通带边界频率 wpo 1 8850e 004椭圆模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数 B 0 0010 8 3913e 0152 9126e 0078 0051e 0041 0859e 017 A 13 3792e 0049 3066e 0081 3646e 0131 0984e 017 滤波器损耗函数如图6 2 11所示 虽然本例中椭圆滤波器阶数是4 但从图6 1 11可以看出 四阶椭圆模拟低通滤波器的过渡带宽度小于7kHz 比指标要求 9kHz 窄2kHz 而例6 2 3中需要五阶切比雪夫模拟低通滤波器 且其过渡带宽度大于7kHz 对于本例的设计指标 如果用巴特沃斯模拟低通滤波器 计算所要求的阶数N 7 图6 2 11四阶椭圆模拟低通滤波器损耗 前面讨论了四种类型的模拟低通滤波器 巴特沃思 切比雪夫 型 切比雪夫 型和椭圆滤波器 的设计方法 这四种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器 第五种 贝塞尔滤波器 是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器 为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标 必须比较四种幅度逼近滤波器的特性 为此 下面比较相同阶数的归一化巴特沃思 切比雪夫 型 切比雪夫 型和椭圆滤波器的频率响应特性 6 2 5五种类型模拟滤波器的比较 调用MATLAB滤波器设计函数 很容易验证 当阶数相同时 对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s 巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性 过渡带最宽 两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等 比巴特沃思滤波器的过渡带窄 但比椭圆滤波器的过渡带宽 切比雪夫 型滤波器在通带具有等波纹幅频特性 过渡带和阻带是单调下降的幅频特性 切比雪夫 型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同 阻带是等波纹幅频特性 椭圆滤波器的过渡带最窄 通带和阻带均是等波纹幅频特性 相位逼近情况 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3 4的通带上非常接近线性相位特性 而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性 贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性 而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多 复杂性 在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下 巴特沃思滤波器阶数最高 椭圆滤波器的阶数最低 而且阶数差别较大 所以 就满足滤波器幅频响应指标而言 椭圆滤波器的性能价格比最高 应用较广泛 由上述比较可见 五种滤波器各具特点 工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数 阶数影响处理速度和实现的复杂性 和相位特性的具体要求 例如 在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时 就应当选择椭圆滤波器 低通 高通 带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用 p和 s表示 ph表示高通滤波器的通带边界频率 pl和 pu分别表示带通和带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率 sl和 su分别表示带通和带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率 6 2 6频率变换与模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 从原理上讲 通过频率变换公式 可以将模拟低通滤波器系统函数Q p 变换成希望设计的低通 高通 带通和带阻滤波器系统函数Hd s 在模拟滤波器设计手册中 各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的 并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式 设计高通 带通和带阻滤波器的一般过程是 1 通过频率变换公式 先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标 2 设计相应的低通系统函数Q p 3 对Q p 进行频率变换 得到希望设计的滤波器系统函数Hd s 设计过程中涉及的频率变换公式和指标转换公式较复杂 其推导更为复杂 幸好一些学者已经开发出根据设计指标直接设计高通 带通和带阻滤波器的CAD程序函数 只要根据设计指标直接调用CAD程序 就可以得到高通 带通和带阻滤波器系统函数 前面所提到的MATLAB信号处理工具箱函数butter cheby1 cheby2和ellip都具有这样的功能 本节先简要介绍模拟滤波器的频率变换公式 再举例说明调用MATLAB信号处理工具箱函数直接设计高通 带通和带阻滤波器的方法 设计的低通滤波器Q p 是关于某边界频率的 归一化低通滤波器 则设计计算将大大简化 归一化低通滤波器 是指关于某个边界频率归一化的低通滤波器 其系统函数就用Q p 表示 归一化频率根据设计需要而定 对巴特沃斯滤波器关于3dB截止频率归一化的系统函数称为巴特沃斯归一化低通原型 记为G p 而切比雪夫和椭圆滤波器的归一化低通原型一般是关于通带边界频率 p归一化的低通系统函数 即Q p 的通带边界频率为1 符号规定 用Q p 表示某边界频率的 归一化低通滤波器 的系统函数 定义p j 为Q p 的归一化复变量 其通带边界频率记为 p 称为归一化频率 用Hd s 表示希望设计的模拟滤波器的系统函数 s j 表示Hd s 的复变量 举例 一阶巴特沃斯低通原型系统函数为 其3dB截止频率 p 1 是关于3dB截止频率归一化的 模拟滤波器设计手册中给出了各种模拟滤波器归一化低通系统函数的参数 零 极点位置 分子 分母多项式系数等 6 2 48 6 2 49 频率变换公式 从p域到s域映射的可逆变换记为p F s 低通系统函数Q p 与Hd s 之间的转换关系为 在虚轴 频率轴 上该映射关系简化为如下频率变换公式 式中 ph为希望设计的高通滤波器HHP s 的通带边界频率 6 2 51 1 模拟高通滤波器设计 从低通到高通滤波器的映射关系为 6 2 50 将通带边界频率为 p的低通滤波器的系统函数Q p 转换成通带边界频率为 ph的高通滤波器系统函数 6 2 52 由频率变换公式将低通滤波器的通带 0 p 映射为高通滤波器的通带 ph 而将低通滤波器的通带 p 0 映射为高通滤波器的通带 ph 将低通滤波器的阻带 s 映射为高通滤波器的阻带 sh 0 而将低通滤波器的阻带 s 映射为高通滤波器的阻带 0 sh 映射关系式 6 2 50 确保低通滤波器Q p 通带 p p 上的幅度值出现在高通滤波器HHP s 的通带 ph 上 同样 低通滤波器Q p 阻带 s 上的幅度值出现在高通滤波器HHP s 的阻带 s s 上 低通 高通的映射关系 例6 2 5 设计巴特沃思模拟高通滤波器 要求通带边界频率为4kHz 阻带边界频率为1kHz 通带最大衰减为0 1dB 阻带最小衰减为40dB 解 1 通过映射关系式 6 2 51 将希望设计的高通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器Q p 的指标 为了计算简单 一般选择Q p 为归一化低通 即取Q p 的通带边界频率 p 1 则由 6 2 51 式可求得归一化阻带边界频率为 转换得到低通滤波器的指标为 通带边界频率 p 1 阻带边界频率 s 4 通带最大衰减 p 0 1dB 阻带最小衰减 s 40dB 2 设计相应的归一化低通系统函数Q p 本例调用MATLAB函数buttord和butter来设计Q p p 1 3 用 6 2 50 式将Q p 转换成希望设计的高通滤波器的系统函数HHP s 本例调用MATLAB函数lp2hp实现低通到高通的变换 BH AH lp2hp B A wph 将系统函数分子和分母系数向量为B和A的低通滤波器变换成通带边界频率为whp的高通滤波器 返回结果BH和AH是高通滤波器系统函数分子和分母的系数向量 实现步骤 2 和 3 的程序ep616 m如下 例6 2 5设计巴特沃思模拟高通滤波器程序 ep625 mwp 1 ws 4 Rp 0 1 As 40 设置低通滤波器指标参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算低通滤波器Q p 的阶数N和3dB截止频率wc B A butter N wc s 计算低通滤波器系统函数Q p 的分子分母多项式系数wph 2 pi 4000 模拟高通滤波器通带边界频率wph BH AH lp2hp B A wph 低通到高通转换 由系数向量B和A写出归一化低通系统函数为 由系数向量BH和AH写出希望设计的高通滤波器系统函数为 Q p 和HHP s 的损耗函数曲线如图6 2 13所示 调用函数buttord和butter可以直接设计巴特沃思高通滤波器 设计程序ep616b m如下 例6 2 5设计巴特沃思模拟高通滤波器程序 ep625b mwp 2 pi 4000 ws 2 pi 1000 Rp 0 1 As 40 设置高通滤波器指标参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算高通滤波器阶数N和3dB截止频率 BH AH butter N wc high s 计算高通滤波器系统函数HHP s 分子分母多项式系数 程序运行结果 N 5 BH 100000 AH 15 1073e 0041 3042e 0092 0584e 0132 0078e 0179 7921e 020 分母多项式系数向量AH与程序ep616 m的运行结果相同 但是 分子多项式系数向量BH与程序ep616 m的运行结果有较大差别 这是由运算误差引起的 由于butter函数采用了归一化处理 所以计算误差小 本程序所得分子多项式系数向量BH与理论设计结果相同 所以实际中应当用程序p616b m设计高通滤波器 由BH和AH写出希望设计的高通滤波器系统函数 2 低通到带通的频率变换 低通到带通的频率变换公式如下 6 2 53 在p平面与s平面虚轴上的频率关系为 6 2 54 将Q p 转换为带通滤波器的系统函数 6 2 55 式中 Bw pu pl 表示带通滤波器的通带宽度 pl和 pu分别为带通滤波器的通带下截止频率和通带上截止频率 0称为带通滤波器的中心频率 频率 0映射为频率 0 频率 p映射为频率 pu和 pl 频率 p映射为频率 pu和 pl 也就是说 将低通滤波器G p 的通带 p p 映射为带通滤波器的通带 pu pl 和 pl pu 同样道理 频率 s映射为频率 su和 sl 频率 s映射为频率 su和 sl 低通 带通的映射关系 低通原型的每一个边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频率 带通滤波器的通带 阻带 边界频率关于中心频率 0几何对称 如果原指标给定的边界频率不满足式几何对称 就要改变其中一个边界频率 以便满足几何对称 但要保证改变后的指标高于原始指标 6 2 56 带通滤波器的中心频率 减小 pl使通带宽度大于原指标要求的通带宽度 增大 sl或减小 pl都使左边的过渡带宽度小于原指标要求的过渡带宽度 如果 pl pu sl su 则减小 su 或增大 pu 使式 6 2 56 得到满足 而且在关于中心频率 0几何对称的两个正频率点上 带通滤波器的幅度值相等 6 2 57 或 如果 pl pu sl su 则减小 pl 或增大 sl 使式 6 2 56 得到满足 具体计算公式为 满足几何对称采取措施 6 2 56 例6 2 6 设计巴特沃思模拟带通滤波器 要求通带上 下边界频率分别为4kHz和7kHz 阻带上 下边界频率分别为2kHz和9kHz 通带最大衰减为1dB 阻带最小衰减为20dB 解所给带通滤波器指标为 因为fplfpu fslfsu 所以不满足 6 2 56 式 按照 6 2 57 式增大fsl 则 采用修正后的fsl 按如下步骤设计巴特沃斯模拟带通滤波器 通过映射关系式 6 2 54 将希望设计的带通滤波器指标转换为相应的低通原型滤波器Q p 的指标 为了设计方便 一般选择Q p 为归一化低通 即取Q p 的通带边界频率 p 1 因为 s的映射为 sl 所以将 p 1 s和 sl代入式 6 2 54 可求得归一化阻带边界频率为 转换得到的归一化低通滤波器指标为 通带边界频率 p 1 阻带边界频率 s 1 963 通带最大衰减 p 1dB 阻带最小衰减 s 20dB