中考数学真题分类汇编第二期专题27锐角三角函数与特殊角试题含解析.doc

锐角三角函数与特殊角一.选择题1.2018山东烟台市3分）利用计算器求值时、小明将按键顺序为显示结果记为a、的显示结果记为b则a、b的大小关系为（）AabBabCa=bD不能比较【分析】由计算器的使用得出A.b的值即可【解答】解：由计算器知a=（sin30）4=16.b=12、ab、故选：B【点评】本题主要考查计算器基础知识、解题的关键是掌握计算器的使用. 2（2018金华、丽水3分）如图、两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上、量得ABC= 、 ADC= 、 则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）A.B.C.D.【解析】【解答】解：设AC=x,在RtABC中、AB= 在RtACD中、AD= 、则 、故答案为：B。【分析】求AB与AD的比、就不必就求AB和AD的具体的长度、不妨设AB=x、用含x的代数式分别表示出AB、AD的长、再求比。3. （2018黑龙江大庆3分）2cos60=（）A1BCD【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案【解答】解：2cos60=2=1二.填空题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3分）我国海域辽阔、渔业资源丰富如图、现有渔船B在海岛A、C附近捕鱼作业、已知海岛C位于海岛A的北偏东45方向上在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30的方向上、此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处、则海岛A、C之间的距离为18n mile【分析】作ADBC于D、根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD、根据题意列式计算即可【解答】解：作ADBC于D、设AC=x海里、在RtACD中、AD=ACsinACD=x、则CD=x、在RtABD中、BD=x、则x+x=18（1+）、解得、x=18、答：A、C之间的距离为18海里故答案为：18【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键2.（2018江苏宿迁3分）如图、将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系、顶点A、B分别落在x、y轴的正半轴上、OAB60、点A的坐标为（1、0）、将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60、再绕点C按顺时针方向旋转90、）当点B第一次落在x轴上时、则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_.【答案】+【分析】在RtAOB中、由A点坐标得OA=1、根据锐角三角形函数可得AB=2、OB=、在旋转过程中、三角板的角度和边的长度不变、所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=、计算即可得出答案.【详解】在RtAOB中、A（1、0）、OA=1、又OAB60、cos60=、AB=2、OB=、在旋转过程中、三角板的角度和边的长度不变、点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=、故答案为：. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、锐角三角函数的定义、旋转的性质等、根据题意正确画出图形是解题的关键.3. （2018广西北海3分）如图、从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30、从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是 45.已知甲楼的高 AB 是 120m、则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根号）。【答案】40【考点】三角函数【解析】俯角是45! 、 BDA = 45!、 AB = AD=120m、 又 CAD = 30!, 在 RtADC 中 tanCDA=tan30= CD =3 ,AD3 CD = 40 3 （m）【点评】学会应用三角函数解决实际问题。三.解答题1. （2018湖北襄阳6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办、某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情、以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30方向上、继续行驶40秒到达B处时、测得建筑物P在北偏西60方向上、如图所示、求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）【分析】作PCAB于C、构造出RtPAC与RtPBC、求出AB的长度、利用特殊角的三角函数值求解【解答】解：过P点作PCAB于C、由题意可知：PAC=60、PBC=30、在RtPAC中、AC=PC、在RtPBC中、BC=PC、AB=AC+BC=、PC=100、答：建筑物P到赛道AB的距离为100米【点评】此题考查的是直角三角形的性质、解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形、再利用特殊角的三角函数值解答2.（2018江苏宿迁8分）计算： 【答案】5【详解】原式=4-1+（2-）+2、=4-1+2-+、=5.【点睛】本题考查了实数的混合运算、熟练掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值是解题的关键.3.（2018江苏淮安10分）（1）计算：2sin45+（1）0+|2|；（2）解不等式组：【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号、再计算乘法和加减运算可得；（2）先求出各不等式的解集、再求其公共解集即可【解答】解：（1）原式=2+13+2=+1=1；（2）解不等式3x5x+1、得：x3、解不等式2x1、得：x1、则不等式组的解集为1x3【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算、解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大、同小取较小、小大大小中间找、大大小小解不了及实数的混合运算顺序和运算法则4.（2018江苏淮安12分）如图、在平面直角坐标系中、一次函数y=x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A.B两点动点P从点A出发、在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动、到达点O停止运动、点A关于点P的对称点为点Q、以线段PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为t秒（1）当t=秒时、点Q的坐标是（4、0）；（2）在运动过程中、设正方形PQMN与AOB重叠部分的面积为S、求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T、请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值【分析】（1）先确定出点A的坐标、进而求出AP、利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况、利用正方形的面积减去三角形的面积、利用矩形的面积减去三角形的面积、利用梯形的面积、即可得出结论；（3）先确定出点T的运动轨迹、进而找出OT+PT最小时的点T的位置、即可得出结论【解答】解：（1）令y=0、x+4=0、x=6、A（6、0）、当t=秒时、AP=3=1、OP=OAAP=5、P（5、0）、由对称性得、Q（4、0）；故答案为（4、0）；（2）当点Q在原点O时、OQ=6、AP=OQ=3、t=33=1、当0t1时、如图1、令x=0、y=4、B（0、4）、OB=4、A（6、0）、OA=6、在RtAOB中、tanOAB=、由运动知、AP=3t、P（63t、0）、Q（66t、0）、PQ=AP=3t、四边形PQMN是正方形、MNOA、PN=PQ=3t、在RtAPD中、tanOAB=、PD=2t、DN=t、MNOADCN=OAB、tanDCN=、CN=t、S=S正方形PQMNSCDN=（3t）2tt=t2；当1t时、如图2、同的方法得、DN=t、CN=t、S=S矩形OENPSCDN=3t（63t）tt=t2+18t；当t2时、如图3、S=S梯形OBDP=（2t+4）（63t）=3t2+12；（3）如图4、由运动知、P（63t、0）、Q（66t、0）、M（66t、3t）、T是正方形PQMN的对角线交点、T（6t、t）点T是直线y=x+2上的一段线段、（3x6）、作出点O关于直线y=x+2的对称点O交此直线于G、过点O作OFx轴、则OF就是OT+PT的最小值、由对称知、OO=2OG、易知、OH=2、OA=6、AH=2、SAOH=OHOA=AHOG、OG=、OO=在RtAOH中、sinOHA=、HOG+AOG=90、HOG+OHA=90、AOG=OHA、在RtOFO中、OF=OOsinOOF=、即：OT+PT的最小值为【点评】此题是一次函数综合题、主要考查了正方形的面积、梯形、三角形的面积公式、正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键、找出点T的位置是解本题（3）的难点OABDC5. （2018金华、丽水8分） E如图、在RtABC中、点O在斜边AB上、以O为圆心、OB为半径作圆、分别与BC,AB相交于点D,E、连结AD.已知CAD=B.（1）求证：AD是O的切线.（2）若BC=8、tanB=,求O的半径.【解析】【分析】（1）证明切线时、第一步一般将圆心与切点连结起来、证明该半径和该直线垂直即可证得；此题即证ADO=90；（2）直接求半径会没有头绪、先根据题中的条件、求出相关结论、由BC=8、tanB= 不难得出AC、AB的长度；而tan1=tanB= 、同样可求出CD、AD的长度；设半径为r、在RtADO中、由勾股定理构造方程解出半径r即可。6.（2018广东9分）如图、四边形ABCD中、AB=AD=CD、以AB为直径的O经过点C、连接AC、OD交于点E（1）证明：ODBC；（2）若tanABC=2、证明：DA与O相切；（3）在（2）条件下、连接BD交于O于点F、连接EF、若BC=1、求EF的长【分析】（1）连接OC、证OADOCD得ADO=CDO、由AD=CD知DEAC、再由AB为直径知BCAC、从而得ODBC；（2）根据tanABC=2可设BC=A.则AC=2A.AD=AB=、证OE为中位线知OE=A.AE=CE=AC=a、进一步求得DE=2a、再AOD中利用勾股定理逆定理证OAD=90即可得；（3）先证AFDBAD得DFBD=AD2、再证AEDOAD得ODDE=AD2、由得DFBD=ODDE、即=、结合EDF=BDO知EDFBDO、据此可得=、结合（2）可得相关线段的长、代入计算可得【解答】解：（1）连接OC、在OAD和OCD中、OADOCD（SSS）、ADO=CDO、又AD=CD、DEAC、AB为O的直径、ACB=90、ACB=90、即BCAC、ODBC；（2）tanABC=2、设BC=A.则AC=2a、AD=AB=、OEBC、且AO=BO、OE=BC=a、AE=CE=AC=a、在AED中、DE=2a、在AOD中、AO2+AD2=（）2+（a）2=a2、OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2、AO2+AD2=OD2、OAD=90、则DA与O相切；（3）连接AF、AB是O的直径、AFD=BAD=90、ADF=BDA、AFDBAD、=、即DFBD=AD2、又AED=OAD=90、ADE=ODA、AEDOAD、=、即ODDE=AD2、由可得DFBD=ODDE、即=、又EDF=BDO、EDFBDO、BC=1、AB=AD=、OD=、ED=2.BD=、OB=、=、即=、解得：EF=【点评】本题主要考查圆的综合问题、解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点7.（2018广西贵港8分）如图、已知O是ABC的外接圆、且AB=BC=CD、ABCD、连接BD（1）求证：BD是O的切线；（2）若AB=10、cosBAC=、求BD的长及O的半径【分析】（1）如图1、作直径BE、半径OC、证明四边形ABDC是平行四边形、得A=D、由等腰三角形的性质得：CBD=D=A=OCE、可得EBD=90、所以BD是O的切线；（2）如图2、根据三角函数设EC=3x、EB=5x、则BC=4x根据AB=BC=10=4x、得x的值、求得O的半径为、作高线CG、根据等腰三角形三线合一得BG=DG、根据三角函数可得结论【解答】（1）证明：如图1、作直径BE、交O于E、连接EC.OC、则BCE=90、OCE+OCB=90、ABCD、AB=CD、四边形ABDC是平行四边形、A=D、OE=OC、E=OCE、BC=CD、CBD=D、A=E、CBD=D=A=OCE、OB=OC、OBC=OCB、OBC+CBD=90、即EBD=90、BD是O的切线；（2）如图2、cosBAC=cosE=、设EC=3x、EB=5x、则BC=4x、AB=BC=10=4x、x=、EB=5x=、O的半径为、过C作CGBD于G、BC=CD=10、BG=DG、RtCGD中、cosD=cosBAC=、DG=6、BD=12【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定要证某线是圆的切线、已知此线过圆上某点、连接圆心与这点（即为半径）、再证垂直即可、在圆的有关计算中、常根据三角函数的比设未知数、列方程解决问题8.（2018贵州黔西南州12分）（1）计算：|2|2cos60+（）1（2018）0【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；【解答】解：（1）|2|2cos60+（）1（2018）0=22+61