2016-2017学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）.doc
2016-2017学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试.zip
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2016-2017学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试.zip,2016,2017,学年,四川省,成都,石室,中学,高二下,学期,期中考试
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2016-2017学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题1复数（为虚数单位）的虚部是（ ）a. 1 b. -1 c. d. 【答案】a【解析】由题意有： ，据此可得复数（为虚数单位）的虚部是1 .本题选择a选项.2在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】点对应的直角坐标为，则直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程： .3已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】求导函数可得 函数在点(1,f(1)处切线的斜率为1，f(1)=1， .本题选择d选项.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.4已知点为抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）a. b. c. 2 d. 【答案】b【解析】点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，过焦点f作直线x+y4=0的垂线,此时d1+d2最小，f(1,0),则.本题选择b选项.5一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积.本题选择d选项.6若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由直线的参数方程可得倾斜角的正切值为： ，该倾斜角为钝角，利用同角三角函数基本关系可求得直线倾斜角的余弦值为 .本题选择a选项.7已知， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）， ， ， （2）， （3）， ， （4）， a. 0个 b. 1个 c. 2个 d. 3个【答案】b【解析】逐一考查所给的四个命题：(1)中，当时不满足,该说法错误；(2)中，直线垂直于平面内两条相交直线才能垂直于平面，该说法错误；(3)中，只有m,n在同一个平面之内利用面面平行的判断定理才能证得该结论(4)中，利用线面垂直的性质定理可知该结论正确.本题选择b选项.8在满足极坐标和直角坐标互化条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（ ）a. 椭圆 b. 双曲线 c. 圆 d. 直线【答案】c【解析】极坐标方程即：32cos2+42sin2=12，直角坐标方程为：3x2+4y2=12，即，经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线方程为 ,即x2+y2=12，得到的曲线是圆。本题选择c选项.9已知，其导函数记为，则（ ）a. 0 b. 1 c. 2 d. 2017511【答案】c【解析】， ，设，h(x)=h(x)，f(x)=f(x)，0f(x)为偶函数，f(2017511)+f(2017511)+f(2017511)f(2017511)=1+h(2017511)+1+h(2017511)+f(2017511)f(2017511)=2，本题选择c选项.10在区间和分别取一个数，记为， ，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】试题分析：在区间和上分别取一个数，记为，对应坐标平面内一个点，则所有可能的结果对应的平面区域为如下图所示的矩形区域，且结果落在区域内任何一点处的可能性是相等的.记事件为“方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆”因为由得： 所以事件所包含的全部基本结果组成如下图中的阴影部分所示：由几何概型的概率计算公式得： 故选b.【考点】椭圆的标准方程与简单几何性质、几何概型.11一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】当且仅当x=1时取等号， ，矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设a点的坐标为（x1，y），b点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆的半径为y，高位h=x2-x1，即（x2-x1）（x2x1-1）=0，x2x1=1，即 ，当且仅当时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为.本题选择d选项.点睛： (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解12已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】，f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减，当a0时,f2(x)+af(x)0f(x)0,此时不等式f2(x)+af(x)0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时,f2(x)+af(x)0f(x)0,此时不等式f2(x)+af(x)0有无数个整数解，不符合题意；当a0f(x)a,要使不等式f2(x)+af(x)0恰有两个整数解，必须满足f(3)ab1,可得，则双曲线的离心率的取值范围为.三、解答题17某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示.（1）求毕业大学生月收入在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？【答案】（1）；（2）；（3）人.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图可得毕业大学生月收入在的频率为0.4；(2)很明显中位数在之间，列方程估计样本数据的中位数为；(3)利用分层抽样的结论可得应抽取25人.试题解析：（1）月收入在的频率为：；（2）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，则，解得，根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为；（3）居民月收入在的频率为，所以10000人中月收入在的人数为（人），再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在的这段应抽取人.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.直线经过点，倾斜角.（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆相交于， 两点，求的值.【答案】（1）， （为参数）（2）8【解析】试题分析：第一问能够根据题中所给的圆的参数方程，根据对应的式子的关系，消参可确定出圆的方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义，可以断定出直线的参数方程；第二问将直线的参数方程和圆的方程联立，根据韦达定理，确定出所求式子的结果试题解析：（）圆的标准方程为 2分直线的参数方程为，即（为参数） 5分（）把直线的方程代入，得，即，所以， 8分所以10分【考点】参数方程和普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转换，直线的参数方程中参数的几何意义的应用19如图，矩形中， 平面， ， 为上的点，且平面.（1）求证： 平面；（2）求证： 平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）证明线面垂直的判定定理是证明线与平面内的两条相交直线垂直，所以根据条件可证明,;（2）证明线面平行的判定定理是证明线面平行，则线面平行，所以根据条件可证明;（3）利用等体积转化试题解析：（1）证明：平面， ，平面，则又平面，则平面（2）由题意可得是的中点，连接平面，则，而，是中点,在中， ， 平面（3）平面， ，而平面， 平面是中点， 是中点， 且，平面， ， 中， ，【考点】1线面垂直的判定定理；2线面平行的判定定理；3等体积转化20设函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对任意及任意， ，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由函数的导函数分类讨论可得：当时， 在定义域上是减函数；当时， 在， 上单调递减，在上单调递增；当时， 在和上单调递减，在上单调递增.(2)结合(1)的结论可得，构造函数，讨论可得.试题解析：（1），当，即时， ， 在上是减函数；当，即时，令，得或；令，得；当，即时，令，得或；令，得；综上，当时， 在定义域上是减函数；当时， 在， 上单调递减，在上单调递增；当时， 在和上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时， 在上单调递减，当时， 有最大值，当时， 有最小值， 对任意，恒有， .构造函数，则， ， .函数在上单调增.， .21已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；（3）在第（2）问的条件下，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)由题意求得,则椭圆方程为.(2)将直线方程与椭圆方程联立，整理可得 ，则的取值范围为.(3)面积公式： ，求导讨论可得面积的最大值为.试题解析：（1）点在且椭圆上， ， ， ， ， 椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入，整理得.直线过椭圆的右焦点， 方程有两个不等实根.记， 中点，则， ， ， 垂直平分线的方程为.令，得 .， . 的取值范围为.（3），而，由，可得.所以.又，所以.所以的面积为.设，则.可知在区间单调递增，在区间单调递减.所以，当时， 有最大值.所以，当时， 的面积有最大值.22已知函数， （为自然对数的底数）.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求， 的值；（2）若时，函数在内是增函数，求的取值范围；（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）， ；（2）；（3）不存在.【解析】试题分析：(1)利用导函数与切线的关系得到方程，解方程可得， ；(2)函数为增函数，则即在内恒成立，处理恒成立问题可得的取值范围是；(3) 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则， ，讨论可得矛盾，假设不成立，故在点处的切线与在点处的切线不平行.试题解析：（1）当时， ，导数，即函数的图象在处的切线斜率为，切点为，函数的图象在处的切线方程为， ， ；（2）时，函数在的解析式是，导数，函数在内是增函数，即在内恒成立， ，时， .，故的取值范围是；（3）假设在点处的切线与在点处的切线平行，设点， ， ，则由题意得点、的横坐标与中点的横坐标相等，且为，时， ， ，在点处的切线斜率为，由于两切线平行，则，即，则两边同乘以，得， ， ，设，则， ，令， ，则， ， 在上单调递增， ，这与矛盾，假设不成立，
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