第8讲二次函数综合问题--.doc

第八讲 二次函数综合问题【趣题引路】 例 今有网球从斜坡O点处抛去,网球的抛物路线方程是y=4x-x2,斜坡的方程是y=x,其中y是垂直高度(m),x是与0点的水平距离(m),如图. (1)网球落地时撞击斜坡的落点为A,写出A点的垂直高度,以及A点与O点的水平距离; (2)在图象中,求标志网球所能达到的最高点B的坐标,并求OB与水平线Ox之间夹角的正切. 解析 (1)由方程组 解得A点坐标为(7,3.5),即可求得A点的垂直高度为3.5m,A点与O点水平距离为7m. (2)由y=4x-x2= -(x-4)2+8知,最高点B的坐标为(4,8),且tana=2(记BOx=a).点评 本题是香港考题,在日常情境中,本题运用了许多数学知识,如方程组,一元二次方程,二次函数的画图及求二次函数的极值.【知识延伸】 例1 设a、b、c、d是任意实数,且满足(a+b+c)22(a2+b2+c2)+4d,求证:不等式ab+bc+ca3d. 证明 将已知不等式化简整理,得 c2-2(a+b)c+(a2+b2)-2ab+4d0, 设y=f(x)=x2-2(a+b)x+(a2+b2)-2ab+4d,则式表示f(c)0,故抛物线(开口向上)与x轴有交点,则 =4(a+b)2-4(a2+b2)-2ab+4d0, 即(a+b)2-(a2+b2)+2ab-4d0, 化简,得abd, 由于此题关于a、b、c是对称的,故用同样的方法可证得bcd, cad, 、相加得证.点评 此题的关键和难点是利用题设中已有的不等式构造二次函数,利用二次函数的有关性质和结论证明不等式是常用的方法. 例2 已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于B、C两点,点D平分BC.若在x轴上方的A点为抛物线上的动点,且BAC为锐角,求AD的取值范围. 解析 y=-x2+2x+8 =-(x+1)2+9 抛物线顶点为A(1,9),对称轴为x=1.抛物线与x轴的交点为B(-2,0),C(4,0). 如图,分别以BC,DA为直径作D、E,可求得其与抛物线均交于P(1-2,1)和Q(1+,1). 根据直径所对的圆周角为直角,圆外角为锐角,圆内角为钝角,可知点A在不含端点的抛物线上时,BAC90, 又DP2=(1-1+2)2+1=9 DP=DQ=3,DA=9 3AD9.点评 此题应用于圆内角,圆外角,直径的有关性质,是几何、代数综合以及数形结合的能力题,其关键是为什么作两圆.(请多思考).【好题妙解】佳题新题品味 例 要使二次方程ax2-(a+1)x-4=0的一根在-1和0之间,另一根在2和3之间,试求整数a的值. 解析 令f(x)=ax2-(a+1)x-4, f(x)=0在(-1,0)之间有一根, f(-1)f(0)=(2a-3)(-4)0 f(x)=0在(2,3)之间有一根, f(2)f(3)=(2a-b)(6a-7)0. 解不等式组 得a3. a为整数,a=2时,二次方程ax2-(a+1)x-4=0的两个根分别在(-1,0)和(2,3)之间.点评如果用方程的知识来解,由求根公式,须解下列不等式组: 这较难解出a,利用函数的观点,根据根的分布和符号性质较易求出a的范围.中考真题欣赏 例 (2003年长沙市中考题)设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+(+k)k,k为实数. (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴方程(用k表示); (2)任意给定k的三个不同实数值,请写出三个对应的顶点坐标,试说明当k变化时,抛物线C的顶点在一条定直线L上,求出直线L的解析式并画出图象; (3)在第一象限有任意两圆O1、O2相外切,且都与x轴和(2)中的直线L相切,设两圆在x轴上的切点分别为A、B(OAOB),试问: 是否为一定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由; (4)已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截,且截得的线段长都为6,求这条直线的解析式. 解析 (1)配方,得y=(x-k)2+k, 顶点坐标为(k,k ),对称轴为x=k.(2)设顶点为(x,y),则x=k,y=k 消去k得直线L的解析式为y=x,如图(1)所示,令k=1,2,3得三个对应顶点坐标为(1, ),(2,2),(3,3).(3)在y=x上任取一点(a, a),设直线与x轴成角为a(0a0). (1)当c0,c0 故ax2+bx+c的最小值为0, y=-2ax2+bx+c-1值的最大值为-1; (2)欲使直线y=k(x-1)-与抛物线y=ax2+bx+c只有一个交点,则方程组 只有一组解,消去y得到关于x的二次方程ax2+(b-k)x+k+c=0. =(b-k)2-4a(+k+c)=0, 整理,得关于k的二次方程 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.() 又因为此方程对任意实数k都成立,故 即点评 根据题意,()对任意实数k都成立,说明关于k的各项系数都为0. 例2 (1997年天津市初中数学竞赛试题)已知函数y=x2-x-12的图象与x轴交于相异两点A,B,另一抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,顶点为P,且APB是等腰直角三角形,求a,b,c. 解析 考虑方程x2-x-12=0, 当x0时,x2-x-12=0,解得x1=4,x2=-3(舍去); 当x0时,x2+x-12=0,解得x3=-4,x4=3(舍去). A、B两点的坐标是(4,0),(-4,0). y=ax2+bx+c过A、B两点,即过(4,0),(-4,0), 可设y=ax2+bx+c为y=a(x-4)(x+4) APB为等腰直角三角形,而A、B为顶点, AB可为斜边,也可为直角边. 当AB为斜边时,求求得P点坐标为(0,4)或(0,-4);当AB为直角边时,这种情况不满足题设条件. 将P(0,4)代入得a=,则变为 y=-(x2-16)=-x2+4, 故有a=-,b=0,c=4. 将P(0,-4)代入得a=,则变为y=(x2-16)=x2-4, 故有a=,b=0,c=-4.点评 求A、B两点的坐标时,应注意分两种情况去绝对值;条件ABC为等腰直角三角形应分情况讨论.全能训练A卷1.已知抛物线y=x2与直线y=x+k有交点,求k的取值范围.2.如图,P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点,A点的坐标是(3,0). (1)令P点坐标为(x,y),求OPA的面积S; (2)S是y的什么函数? (3)S是x的什么函数? (4)当S=6时,求点P的坐标;(5)在抛物线y=x2上求一点P,使OPA的两边PO=PA.3.抛物线y=ax2+bx+c的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上,且与直线y=4x-4有唯一交点,试求函数表达式.4.已知实数pq,抛物线y1=x2-px+2q与y2=x2-qx+2p在x轴上有相同的交点A, (1)求A点坐标;(2)求p+q的值.5.已知抛物线y=x2+kx+k-1. (1)求证:无论k是什么实数,抛物线经过x轴上一个定点;(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且满足:x1x2,x1x2,SABC=6,问:过A、B、C三点的圆与抛物线是否有第四个交点,试说明理由,如果有,求出其坐标.6.要围成一个如图8-5的猪舍三间,它们是一排大小相等的三个长方形,一面利用旧墙,其他各墙(包括中间隔墙)都是木料.已知现有木料可围24m的墙,问每间猪舍的长x为多少米时,猪舍总面积最大,这时总面积为多少? A卷答案1. 由题意知,方程组有实数解,即方程x2=x+k有实数解,整理,得2x2-3x-3k=0. =9-42(-3k)0,k-2.(1)S=y,又y=x2,S =x2;(2)正比例函数;(3)二次函数;(4)P(2,4); (5)P(,).3.y=x2+x-.4.(1)A(-2,0); (2)p+q=-2.5.(1)(-1,0);(2)过A,B,C三点的圆与抛物线有第四个交点D.x1x2,C点在y轴上,点C不是抛物线的顶点.由于抛物线都是轴对称图形,过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形,所以过A、B、C三点的圆与抛物线第四个交点与C是对称点.x1=-10,x1x2,x11,即x21,-k1,k0.SABC=6,|1-k|(1+|1-k|)=6 ,(1-k)2+(1-k)-12=0.解得1-k=-4或1-k=3,k=-2或k=5(舍去). y=x2-2x-3 其对称轴为x=1,据对称性,D点坐标为(2,-3).6.S=24x-4x2=-4(x-3)2+36. 当每间猪舍长x=3m时,猪舍总面积36m2为最大.B卷1.现有一个计时沙漏,开始时盛满沙子,沙子从上面均匀下漏,经过5min漏完,H是沙漏面下降的高度,则H与下落时间t(min)的函数关系用图象表示应是( )(如图) A B C D2.如图,在直角坐标系xoy中,二次函数y=x2+nx+2-m的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中,点A在点B的左边,若ACB=90,=1. (1)求点C的坐标及这个二次函数的解析式; (2)设计两种方案,作一条与y轴不重合,与ABC两条边相交的直线,使截得的三角形与ABC相似,并且面积为AOC面积的,求所截得的三角形三个顶点的坐标.3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过x轴上的两点A(x1,0),B(x2,0)和y轴上的点C(0,-),P的圆心P在y轴上,且经过B、C两点,若b=a,AB=2. (1)求抛物线的解析式; (2)D在抛物线上,且C、D两点关于抛物线的对称轴对称,问直线BD是否过圆心P?并说明理由;(3)设直线BD交P于另一点E,求经过E的P的切线的解析式.4.(1)画函数y=x2-2 x+1的图象;(2)为使方程x2-2x+1=x+b有四个不同的实根,求b的变化范围.5.要使二次方程ax2-(a+1)x-4=0的一根在-1和0之间,另一根在2和3之间,试求整数a的值. B卷答案1. 观察沙漏,由其规格可知,沙子减少是由慢到快的过程,又不规划,故选B.2.(1)设A(,0),B(,0),由ACB=90知0,则，是方程 x2+nx-m=0的两个根, AOBO=|=2(m-2).a=0,抛物线y=x2+nx+2-m与x轴有两个交点,C(0,2-m),其中2-m0. CO=2-m=m-2, ACB=90,COAB于点O, AOCCOB,. CO2=AOBO,(m-2)2=2(m-2) 解得m1=2,m2=4. 当m=2时,2-m=0不合题意; 当m=4时,2-m0符合题意. 当m=4时,二次函数化为y=x2+nx-2 =1, , AO=2CO=4. 点A在x轴负半轴上,A(-4,0).把A(-4,0)代入得n=2,得y=x2+x-2 ,设C的坐标为(0,y)代入y=x2+x-2即得C点坐标.(2)方案一:分别取AO,AC中点D,D,连结DD,则ADD为所求.点D,D的坐标分别为:D(-2,0),D(-2,-1);方案二:在CA上截取CE,使CE=CO=2;在CB上截取CF,使CF=BO=1,连结EF,则CEF为所求;方案三:在AC上截取AG,使AG=GO=2;在AB上截取AH,使AH=BC=,连结GH,则AGH为所求.3.(1)y= x2+x-; (2)直线BD经过圆心P; (3)经过E点的P的切线的解析式是y=-2.4.(1)y=|x2-2x+1|=|(x-)2-2| 的图象如图所示,点(A,B的坐标分别为(-,0),(+ ,0); (2)方程的实数根就是函数y=|x2-2x-1|与函数y=x+b的图象交点的横坐标. 由图可知,当L介于L1与L2之间时,该直线y=x+b与函数y=|x2-2+1| 的图象有四个交点. L1过P点,即y=0,x2- 2x+1=0的