北师大版必修三 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率1频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率2事件的分类事件3概率的性质(1)必然事件的概率为1.(2)不可能事件的概率为0.(3)随机事件a的概率为0p(a)1.4古典概型的特征及计算公式(1)有限性：试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果(2)等可能性：每一个试验结果出现的可能性相同(3)古典概型的计算公式p(a).5(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件a与b称作互斥事件即p(ab)p(a)p(b)(2)对立事件：一般地，在一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件称为对立事件p(a)1，即p(a)1p()6几何概型的概率计算公式p(点m落在g1).1两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件()2“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”()3在古典概型中，如果事件a的基本事件构成集合a，试验的所有的基本事件构成集合i，则事件a的概率为(card(a)表示集合a中的元素个数)()4相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值一定相等()类型一频率与概率例1对一批u盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率；(2)从这批u盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个u盘，至少需进多少个u盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批u盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进x个u盘，为保证其中有2 000个正品u盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进2 041个u盘反思与感悟概率是个常数但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约是3000.9270.(3)由概率的意义可知，概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心类型二互斥事件与对立事件例2某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10 ，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20 ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解(1)设a表示事件“赔付金额为3 000元”，b表示事件“赔付金额为4 000元”，a，b互斥，以频率估计概率得p(a)0.15，p(b)0.12.由于投保金额为2 800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为p(a)p(b)0.150.120.27.(2)设c表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知得样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得p(c)0.24.反思与感悟在求有关事件的概率时，对事件恰当的分解，不重不漏，利用互斥事件运算法则求解，若从正面分析包含的事件较多或较烦琐，则可以从反面入手，利用对立事件求解跟踪训练2(1)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会女子乒乓球单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_答案解析甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生，因此它们是互斥事件，故所求事件的概率为.(2)某射手在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：射中10环或9环的概率；至少射中7环的概率；射中环数不足8环的概率解设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件a，b，c，d，e.p(ab)p(a)p(b)0.240.280.52，即射中10环或9环的概率为0.52.方法一p(abcd)p(a)p(b)p(c)p(d)0.240.280.190.160.87，即至少射中7环的概率为0.87.方法二“射中7环以下”为“至少射中7环”的对立事件，所以所求事件的概率为1p(e)10.130.87.p(de)p(d)p(e)0.160.130.29，即射中环数不足8环的概率为0.29.类型三古典概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y， ，用综合指标sxy 评价该产品的等级若s4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号a1a2a3a4a5质量指标(x，y， )(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号a6a7a8a9a10质量指标(x，y， )(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件b为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标s都等于4”，求事件b发生的概率解(1)计算10件产品的综合指标s，如下表：产品编号a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10s4463454535其中s4的有a1，a2，a4，a5，a7，a9，共6件，故该样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为a1，a2，a1，a4，a1，a5，a1，a7，a1，a9，a2，a4，a2，a5，a2，a7，a2，a9，a4，a5，a4，a7，a4，a9，a5，a7，a5，a9，a7，a9，共15种在该样本的一等品中，综合指标s等于4的产品编号分别为a1，a2，a5，a7，则事件b发生的所有可能结果为a1，a2，a1，a5，a1，a7，a2，a5，a2，a7，a5，a7，共6种所以p(b).反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限跟踪训练3有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率解(1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(a，b)表示“第一次取出a号债券，第二次取出b号债券”，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种用c表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则c(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，所以p()1p(c)1.(2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种用d表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”，则d(1,2)，(2,1)所以p()1p(d)1.类型四几何概型例4(1)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_(2)如图所示，在矩形abcd中，点a在x轴上，点b的坐标为(1,0)，且点c与点d在函数f(x)的图像上若在矩形abcd内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()a. b. c. d.答案(1)(2)b解析(1)由题意，得解得p1或2p5，所以所求概率p.(2)由函数f(x)可知，其图像与y轴交于点e(0,1)，又因为b(1,0)，依次可求得c(1,2)，d(2,2)，a(2,0)，矩形abcd的面积为326，阴影部分的面积为31，故所求概率为.反思与感悟对于概率问题的计算，首先应判断概率模型若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型由于其结果的无限性，概率就不能应用p(a)求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解跟踪训练4如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为()a. b. c. d.答案d解析设阴影小正方形的边长为x，则在直角三角形中，有22(x2)2()2，解得x1或x5(舍去)，阴影部分的面积为1，飞镖落在阴影部分的概率为.1下列事件中，随机事件的个数为()在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；在标准大气压下，水在4时结冰a1 b2 c3 d4答案c解析在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；在标准大气压下，水在4时结冰是不可能事件故选c.2把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()a对立事件 b互斥但不对立事件c不可能事件 d必然事件答案b解析根据题意知，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件3下列试验属于古典概型的有()从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；在公交车站候车不超过10分钟概率；同时抛掷两枚硬币，观察出“两正”“两反”“一正一反”的次数；从一桶水中取出100 ml，观是否含有大肠杆菌a1个 b2个c3个 d4个答案a解析古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性符合两个特征；对于和，基本事件的个数有无限多个；对于，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选a.4甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是_答案解析共有4个事件“甲、乙同住房间a，甲、乙同住房间b，甲住a乙住b，甲住b乙住a”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.5小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形abcd和opqr，如果o点正好是正方形abcd的中心，而正方形opqr可以绕点o旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是_考点古典概型与几何概型题点几何概型答案解析连接oa，ob，设or交bc于m，op交ab于n.因为obmoan，所以阴影部分的面积等于oab的面积，为1.整个图形的面积为817.所以小明射中阴影部分的概率是.1两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥2关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件a是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错3几何概型的试验中，事件a的概率p(a)只与子区域a的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与a的位置和形状无关求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解4模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件a发生的条件确定随机数应满足的关系式一、选择题1下列概率模型：在区间10,10中任取一个数，求取到1的概率；从区间10,10内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；向一个边长为4 cm的正方形abcd内投一点p，求点p离中心不超过1 cm的概率其中，是几何概型的个数为()a1 b2 c3 d4答案c解析是因为区间10,10有无限多个点，取到任一点都是等可能的，取到1这个数的概率为0.是因为在10,10和1,1上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同不是因为10,10上的整数只有21个，不满足无限性是因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且每个点被投中的可能性相同2袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是()a. b. c. d.答案b解析把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个其中至多一个黑球的事件有12个由古典概型公式得p.3在区间0,1上任取两个实数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为()a. b.c. d.考点古典概型与几何概型题点几何概型答案b解析由a24b20及a，b0,1，得a2b，如图，p，故选b.4先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是p1，p2，p3，则()ap1p2p3 bp1p2p3cp1p2p3 dp3p2p1答案b解析点数之和为12的事件为(6,6)，p(12)，同理p(11)，p(10).5在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为()a. b.c. d.答案c解析在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有15种其中，所选两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，故所求事件的概率为.6从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()a. b. c. d.答案c解析共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为.7若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab2，bc1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是()a. b. c. d.答案b解析由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则p，故选b.8有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为()a. b. c. d.答案b解析由已知可得，前九组共有123945(个)奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105共3个，故所求概率为p.二、填空题9将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_答案解析两本数学书编号为1,2，语文书编号为3.则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件.2本数学书相邻的有4个10如图，在矩形abcd中，ab，bc1，以a为圆心，1为半径作圆弧de，在圆弧de上任取一点p，则直线ap与线段bc有公共点的概率是_答案解析如图，连接ac，交圆弧de于点p，则tancab，cab30.直线ap与线段bc有公共点的条件是直线ap在cab内，所求概率为.11甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案三、解答题12如图所示，a是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点a，连接aa，求弦aa的长度大于等于半径长度的概率解如图，当aa的长度等于半径长度时，aoa60，使aa大于半径的弧度为240，所以p.13一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解(1)由题意得，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件a，则事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以p(a).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件b，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以p(b)1p()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.四、探究与拓展14在1,1上随机地取一个数 ，则事件“直线y x与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_答案解析由直线 xy0与圆(x5)2y29相交可知，圆心(5,0)到