北师大版必修三 模拟方法概率的应用 学案.docx

3模拟方法概率的应用学习目标1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积知识点一几何概型的意义思考向一个外圆内方的铜钱上投一粒小米，则小米可能的落点有多少个？怎样计算小米落入方孔中的概率？答案小米可能的落点有无限多，故不能用古典概型计算小米落入方孔中的概率，但因为小米的落点个数与铜钱的面积成正比，故可用方孔与铜钱面积之比来计算小米落入方孔中的概率梳理向平面上有限区域(集合)g内随机地投掷点m，若点m落在子区域g1g的概率与g1的面积成正比，而与g的形状、位置无关即p(点m落在g1)，则称这种模型为几何概型几何概型中的g也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比知识点二模拟方法思考如图，椭圆与圆只有2个公共点a，b，一个质点落在圆内任一点的可能性相同，则质点落在椭圆内的概率怎么计算？答案这是一个几何概型，但椭圆的面积公式还没学，故不能用几何概型概率公式直接计算，但可以用模拟方法估计梳理模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率模拟方法可以来估计某些随机事件发生的概率1在几何概型中，事件a的概率与构成事件a的大小和形状均有关系()2从几何概型看，不可能事件的概率为0，概率为0的事件是不可能事件()3几何概型与古典概型的区别主要是基本事件个数一个是无限的，一个是有限的()类型一几何概型的概念例1判断下列试验中事件a发生的概率模型是古典概型，还是几何概型(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向b区域时，甲获胜，否则乙获胜求甲获胜的概率解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6636(种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向b区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型反思与感悟判断一个概率模型是古典概型还是几何概型的步骤(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率模型既不是古典概型也不是几何概型(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率模型是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型是几何概型跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设a为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与a连接，求弦长超过半径的概率解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性类型二几何概型的概率计算例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率解如图所示，设上辆车于时刻t1到达，而下辆车于时刻t2到达，则线段t1t2的长度为10，设t是线段t1t2上的点，且tt2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件a，则事件a发生即当点t3落在线段tt2上，即dt1t210，dtt26.所以p(a).故乘客候车时间不超过6分钟的概率为.反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法利用图形解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件a满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件a的概率跟踪训练2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(整点报时)，求他等待的时间不多于10分钟的概率解记“等待的时间不多于10分钟”为事件a，打开收音机的时刻位于50,60时间段内则事件a发生由几何概型的概率公式求得p(a)，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为.例3如图，在矩形区域abcd的a，c两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf(该矩形区域内无其他信号 ，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()a1 b.1 c2 d.答案a解析由题意可知，矩形abcd的面积为2，曲边形debf的面积为2，故所求概率为1.反思与感悟与面积有关的几何概型的概率求法(1)与面积有关的几何概型的概率公式p(a).(2)解与面积有关的几何概型问题应注意：根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关；找出或构造随机事件对应的几何图形，并能求出有关图形的面积；在研究射击、射箭、射门、投掷等问题时，常转化为几何概型，利用面积计算来求其概率跟踪训练3设点m(x，y)在 x 1， y 1对应区域内均匀分布，试求满足：(1)xy0的概率；(2)xy1的概率解如图所示，满足 x 1， y 1的点组成一个边长为2的正方形区域abcd，则s正方形abcd4.(1)方程xy0的图像是ac所在直线，满足xy0的点在ac的右上方，即在acd内(含边界)，而sacds正方形abcd2，所以p(xy0).(2)由图可知e(0,1)，f(1,0)，则xy1的图像是ef所在的直线，满足xy1的点在直线ef的左下方，即在五边形abcfe内(不含边界ef)，而s五边形abcfes正方形abcdsedf4，所以p(xy1).例4已知正三棱锥sabc的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点m，试求点m到底面的距离小于的概率解如图，分别在sa，sb，sc上取点a1，b1，c1，使a1，b1，c1分别为sa，sb，sc的中点，则当点m位于平面abc和平面a1b1c1之间时，点m到底面的距离小于.设abc的面积为s，由abca1b1c1，且相似比为2，得a1b1c1的面积为.由题意知，区域d(三棱锥sabc)的体积为sh，区域d(三棱台abca1b1c1)的体积为shsh.所以点m到底面的距离小于的概率p.反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件a所占的区域体积其概率的计算公式为p(a).跟踪训练4一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率解依题意知，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率p.类型三模拟方法的应用例5假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30 7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00 8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件a，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件a发生的概率吗？解(随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则p(a).反思与感悟解决本类题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率跟踪训练5在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值. 解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即.设正方形的边长为2，则圆半径为1，则，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以4.所以就得到了的近似值.1下列关于几何概型的说法错误的是()a几何概型也是古典概型中的一种b几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关c几何概型中每一个结果的发生具有等可能性d几何概型在一次试验中出现的结果有无限个答案a解析几何概型与古典概型是两种不同的概型2面积为s的abc，d是bc的中点，向abc内部投一点，那么点落在abd内的概率为()a. b.c. d.答案b解析向abc内部投一点的结果有无限个，属于几何概型设“点落在abd内”为事件m，则p(m).3四边形abcd为长方形，ab2，bc1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到点o的距离大于1的概率为()a. b1 c. d1答案b解析若以o为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点o的距离小于或等于1，故所求事件的概率p(a)1.4如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积约为()a. b.c. d无法计算答案b解析，s阴影s正方形.5在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是_答案解析此数不大于2的概率p.1几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型2理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为p(a).3随机数模拟的关键是把实际问题中事件a及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验.一、选择题1用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为()a. b.c. d.答案b解析p.2如图，边长为2的正方形内有一内切圆在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是()a. b.c. d.答案a解析由题意，得p.3在长为10厘米的线段ab上任取一点g，用ag为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是()a. b.c. d.答案d解析以ag为半径作圆，面积介于36平方厘米到64平方厘米，则ag的长度应介于6厘米到8厘米之间所求概率p(a).4如图，在一个边长分别为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是()a. b. c. d.答案c解析s梯形bab，s矩形ab.所以p.5有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()答案a解析a中p1，b中p2，c中设正方形边长2，则p3，d中设圆直径为2，则p4.在p1，p2，p3，p4中，p1最大6已知直线yxb的横截距在区间2,3上，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是()a. b. c. d.答案a解析因为直线yxb的横截距b2,3，所以纵截距b3,2，故b1的概率p.7.从区间0,1上随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()a. b. c. d.答案c解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式，知，故选c.二、填空题8.如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_答案解析不妨设正方形abcd的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得s正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得s黑s白s圆，所以由几何概型知，所求概率p.9广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他在一小时内的任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有_分钟的广告答案6解析由题意知，某人在一小时内看节目时，看到广告的概率为1，则该台每小时约有606(分钟)的广告10在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足 x m的概率为，则m_.答案3解析由 x m，得mxm.当m2时