人教A版选修44 参数方程 学案.doc

整合提升知识网络知识回顾 1.直线(t是参数). 2.圆(是参数). 3.椭圆中心在(0,0)(0t)(t是参数).中心在(x0,y0)(0t)(t是参数). 4.双曲线(是参数). 5.抛物线(t是参数). 6.渐开线(t是参数). 7.摆线(t是参数).典例精讲【例1】 过点p(2,-2)作直线交椭圆=1于a,b两点,求ab中点m的轨迹方程.解:设m(x0,y0),直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(t为参数).代入椭圆方程16(x0+tcos)2+25(y0+tsin)2-1625=0(16cos2+25sin2)t2+(32cosx0+50siny0)t+16x02+25y02-1625=0,由于(x0,y0)为中点,t1+t2=0,即32x0cos+50y0sin=032x0+50y0=0,k=.代入32x0+50y0=032(x-1)2+50(y+1)2=82=1.各个击破类题演练 1过点p(1,1)作直线l交椭圆=1于a,b两点,若p为ab中点,求直线l的方程.解:设直线l的倾斜角为,则l的参数方程为(t为参数）.将其代入椭圆方程（tcos+1)2+4(tsin+1)2-16=0,得(cos2+4sin2)t2+2(cos+4sin)t-11=0.因为p（1,1）为ab的中点，t1+t2=0，即cos+4sin=0.=tan=k=-.则所求直线l的方程为x+4y-5=0.变式提升 1过点p（2，1）作直线l交曲线xy=1于a,b两点,求ab中点m的轨迹方程.解:设ab中点m(x0,y0),l的倾斜角为,则l的参数方程为(t为参数),代入xy=1,即(tcos+x0)(tsin+y0)=1t2sincos+(y0cos+x0sin)t+x0y0-1=0.由于m(x0,y0)为弦中点,则t1+t2=0.y0cos+x0sin=0y0+x0=0.将=tan=k=代入,则y0+x0=02xy+x-2y=0为所求.【例2】 已知圆系的方程为x2+y2-2acosx-2asiny=0(a0).(1)求圆系圆心的轨迹方程;(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.解:(1)将圆系方程配方:(x-acos)2+(y-asin)2=a2.所以圆心的轨迹的参数方程为(为参数).消去,得x2+y2=a2.(2)两圆公共弦所在直线方程由方程组求得2axcos+2aysin-a2=0,圆x2+y2=a2圆心为(0,0),弦心距d=.定圆的弦心距为定值,则弦长为定值,这个定值为d=a.温馨提示 题干中的“圆系”的含义是指当参数变化时的一系列圆,这也是参数方程的一种形式.类题演练 2如图,圆x2+y2=r2的弦ab垂直于x轴,p为ab上一点,且|ap|pb|=a2(ar)为定值,求点p的轨迹方程.解:设a(rcos,rsin),则点b(rcos,-rsin),p(x,y).abx轴,x=rcos,|ap|=|rsin-y|,|pb|=|y+rsin|.|ap|pb|=|(rsin-y)(rsin+y)|=a2|y2-r2sin2|=a2,|y|rsin|,r2sin2-y2=a2.y2+a2=r2sin2.又x=rcos,x2+y2+a2=r2x2+y2=r2-a2.变式提升 2抛物线y2=2px,一组平行弦的斜率为k,求弦中点的轨迹方程.解:设中点m(x0,y0),平行弦倾斜角为,则平行弦所在直线的参数方程为(t为参数,=k).代入抛物线方程有(tsin+y0)2-2p(tcos+x0)=0t2sin2+2(y0sin-pcos)t+y02-2px0=0.m(x0,y0)为弦中点,t1+t2=0,即y0sin-pcos=0.y=,将y=代入y2=2px,得=2px,x=.y=且x为一条射线.【例3】 过抛物线的焦点f的直线交抛物线于a,b两点(ab不与对称轴垂直),ab的垂直平分线交对称轴于s,求证:|fs|=|ab|.解:设抛物线方程为y2=2px(p0),ab的倾斜角为(),则直线ab的参数方程是(t为参数).代入抛物线方程:t2sin2-2p(+tcos)=0t2sin2-2ptcos-p2=0.|ab|=|t1-t2|=.又如图,|fp|=|t1+t2|=,在rtpsf中,|fs|=,|fs|=|ab|.类题演练 3点a,b在椭圆=1上,o为原点,oaob,求证:为定值.解:设aox=,oa=t,则box=+,设ob=t,则oa,ob所在直线方程分别为即分别代入椭圆方程中,得=1.,同理,.=定值.【例4】 过点p(2,2)作直线l被两平行线x+y+1=0,x+y-1=0截得的线段长为2,求l的方程.解:设l的倾斜角为,则l的方程为(t为参数).分别代入方程,得tcos+2+tsin+2+1=0,t1=;tcos+2+tsin+2-1=0,t2=,很明显t1,t2符号相同,则|t1-t2|=|-|=2.=2.sin+cos=1.由于0,=0或=,得两直线方程为x=2或y=2.类题演练 4过原点作直线l,交直线2x-y-1=0于a,2x+y+3=0于b,若原点为线段ab的中点,求l的方程.解:设l的倾斜角为,则l的参数方程为(t为参数).将方程分别代入两直线方程中,2tcos-tsin=1得t1=,2tcos+tsin+3=0,t2=.o(0,0)为ab中点,t1+t2=0.=04cos=4sin.k=tan=1.所求l的方程为y=x.变式提升直线系方程为xcos+ysin=2,圆的参数方程为(为参数),则直