北师大版选修11 第四章 1.2　函数的极值 课件（44张）.pptx

1 2函数的极值 第四章 1函数的单调性与极值 学习目标1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一函数的极值点与极值的概念 梳理 1 如图1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 如图2 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 3 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 知识点二函数极值的判定 1 单调性判别 1 如果函数y f x 在区间 a x0 上是 在区间 x0 b 上是 则x0是极大值点 f x0 是极大值 2 如果函数y f x 在区间 a x0 上是 在区间 x0 b 上是 则x0是极小值点 f x0 是极小值 减少 的 增加的 减少的 增加的 2 图表判别 1 极大值的判定 2 极小值的判定 知识点三求函数y f x 的极值的步骤 1 求出导数f x 2 解方程f x 0 3 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 1 若f x 在x0两侧的符号为 左正右负 则x0为极大值点 2 若f x 在x0两侧的符号为 左负右正 则x0为极小值点 3 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 思考辨析判断正误 1 导数值为0的点一定是函数的极值点 2 在可导函数的极值点处 切线与x轴平行 3 函数f x 无极值 4 定义在 a b 上的连续函数f x 若有极值f x0 则x0 a b 5 函数的极值点一定是其导函数的变号零点 题型探究 类型一求函数的极值 解答 例1求下列函数的极值 1 f x 2x3 3x2 12x 1 解函数f x 2x3 3x2 12x 1的定义域为r f x 6x2 6x 12 6 x 2 x 1 解方程6 x 2 x 1 0 得x1 2 x2 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以当x 2时 f x 取极大值21 当x 1时 f x 取极小值 6 2 f x x2 2lnx 解答 解函数f x x2 2lnx的定义域为 0 得x1 1 x2 1 舍去 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 因此当x 1时 f x 有极小值1 无极大值 反思与感悟求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 求导数f x 2 求f x 的拐点 即求方程f x 0的根 3 利用f x 与f x 随x的变化情况表 根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 特别提醒 在判断f x 的符号时 借助图像也可判断f x 各因式的符号 还可用特殊值法判断 跟踪训练1已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 解答 解f x ex ax b aex 2x 4 ex ax a b 2x 4 f 0 a b 4 4 又f 0 b 4 由 可得a b 4 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 解答 解f x ex 4x 4 x2 4x 则f x ex 4x 8 2x 4 4ex x 2 2 x 2 x 2 4ex 2 令f x 0 得x1 2 x2 ln2 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 f x 在 2 ln2 上是增加的 在 2 ln2 上是减少的 当x 2时 函数f x 取得极大值 极大值为f 2 4 1 e 2 类型二已知函数极值求参数 例2设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 由题意可知f 1 f 2 0 解答 2 判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 解答 解x 1 x 2分别是函数f x 的极小值点 极大值点 理由如下 又 f x 的定义域为 0 当x 0 1 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 故在x 1处函数f x 取得极小值 在x 2处函数取得极大值 故x 1为极小值点 x 2为极大值点 反思与感悟已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式时 注意两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以求解后必须验证根的合理性 跟踪训练2 1 已知函数f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 则a b 解析 答案 2 9 解析 f x 3x2 6ax b 且函数f x 在x 1处有极值0 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 此时函数f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 时 f x 0 此时f x 是增加的 当x 3 1 时 f x 0 此时f x 是增加的 故f x 在x 1处取得极小值 a 2 b 9 2 若函数f x x3 x2 ax 1有极值点 则a的取值范围为 解析 答案 1 解析 f x x2 2x a 由题意得方程x2 2x a 0有两个不同的实数根 4 4a 0 解得a 1 类型三函数极值的综合应用 例3已知函数f x x3 3ax 1 a 0 若函数f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图像有三个不同的交点 求m的取值范围 解答 解因为f x 在x 1处取得极值且f x 3x2 3a 所以f 1 3 1 2 3a 0 所以a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0 解得x1 1 x2 1 当x0 当 11时 f x 0 所以由f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 作出f x 的大致图像如图所示 因为直线y m与函数y f x 的图像有三个不同的交点 结合f x 的图像可知 m的取值范围是 3 1 引申探究若本例 三个不同的交点 改为 两个不同的交点 结果如何 改为 一个交点 呢 解答 解由本例解析可知当m 3或m 1时 直线y m与y f x 的图像有两个不同的交点 当m1时 直线y m与y f x 的图像只有一个交点 反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能在此基础上画出函数的大致图像 从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 跟踪训练3已知函数f x x3 6x2 9x 3 若函数y f x 的图像与y f x 5x m的图像有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解答 解由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图像与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 达标检测 1 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图像如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 答案 解析 1 2 3 4 5 解析f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图像易知有两个极大值点 两个极小值点 2 已知函数f x ax3 x2 x 5在 上既有极大值 也有极小值 则实数a的取值范围为 1 2 3 4 5 答案 解析 解析f x 3ax2 2x 1 令f x 0 即3ax2 2x 1 0有两个不等实根 3 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a等于a 4b 2c 4d 2 1 2 3 4 5 答案 解析 解析 f x x3 12x f x 3x2 12 令f x 0 则x1 2 x2 2 当x 2 2 时 f x 0 则f x 是增加的 当x 2 2 时 f x 0 则f x 是减少的 f x 的极小值点为a 2 4 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 则实数a的值为 1 2 3 4 5 答案 解析 9 解析f x 18x2 6 a 2 x 2a 所以a 9 5 已知曲线f x x3 ax2 bx 1在点 1 f 1 处的切线斜率为3 且x 是y f x 的极值