北师大版选修11 2.1 抛物线及其标准方程 学案.docx

2.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.利用定义会求抛物线方程.知识点一抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l(l不过f)的距离相等的点的集合叫作抛物线.点f叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.知识点二抛物线的标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y思考(1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案(1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l经过点f时，点的轨迹是过定点f且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点f时，点的轨迹是抛物线.题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(2,0)；(2)准线为y1；(3)过点a(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且2，p4，抛物线的标准方程为y28x.(2)焦点在y轴正半轴上，且1，p2，抛物线的标准方程为x24y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点a(2,3)代入，得32m2或22n3，m或n.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p.所求抛物线的标准方程为y25x或y25x或x25y或x25y.反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上.解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10).把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0).把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.题型二抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求|pa|pf|的最小值，并求此时p点坐标.解如图，作pql于q，由定义知，抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d，由图可知，求|pa|pf|的最小值的问题可转化为求|pa|d的最小值的问题.将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，a在抛物线内部.设抛物线上动点p到准线l：x的距离为d，由定义知|pa|pf|pa|d.由图可知，当pal时，|pa|d最小，最小值为.即|pa|pf|的最小值为，此时p点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点p坐标为(2,2).反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()a. b.2c. d.答案a解析如图，由抛物线定义知|pa|pq|pa|pf|，则所求距离之和的最小值转化为求|pa|pf|的最小值，则当a、p、f三点共线时，|pa|pf|取得最小值.又a(0,2)，f(，0)，(|pa|pf|)min|af| .题型三抛物线的实际应用例3如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口ab宽恰好是拱高cd的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.解以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则点b的坐标为，设抛物线方程为x22py(p0)，点b在抛物线上，22p，解得p，抛物线方程为x2ay.将点e(0.8，y)代入抛物线方程，得y.点e到拱底ab的距离为|y|3.解得a12.21，a取整数，a的最小整数值为13.反思与感悟以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.跟踪训练3如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点o，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度ab为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，如图所示，因为点c(5，5)在抛物线上，解得p，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h米，则|db|(h0.5)米，故d(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05米，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.分类讨论思想的应用例4已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一点a(m，3)到焦点f的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程.分析由于抛物线的开口方向不确定，因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论，点a(m，3)在x轴下方，从而抛物线的开口可以分向下、向左、向右三种情况，而焦点在x轴上的情况可以设统一形式y22ax(a0，当a0时，开口向右，当a0时，开口向左).对于a的求法可以利用定义法，也可以解方程组.解因为点(m，3)在x轴下方，所以抛物线的开口方向可以向下、向左或向右.当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，此时准线方程为y.由抛物线的定义，知(3)5，所以p4，所以抛物线的标准方程为x28y.将点a(m，3)代入方程，得m2.当抛物线的开口方向向左或向右时，设抛物线方程为y22ax(a0)，由p|a|，知准线方程可统一成x的形式，由题意，得解方程组，得所以y22x，m；y22x，m；y218x，m；y218x，m.解后反思由于抛物线的标准方程有四种形式，当焦点的位置不确定时，往往要分类讨论.1.抛物线y24x的焦点坐标是()a.(0，2) b.(0，1)c.(2，0) d.(1，0)答案d解析对于抛物线y2ax，其焦点坐标为，y24x，则为(1，0).2.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()a.8 b.16 c.32 d.61答案b解析由y28x得焦点坐标为(2,0)，由此直线方程为yx2，由联立得x212x40，设交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，由方程知x1x212，弦长|ab|x1x2p12416.3.设f为抛物线c：y24x的焦点，曲线y(k0)与c交于点p，pfx轴，则k()a. b.1 c. d.2答案d解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由pfx轴知，|pf|2，所以p点的坐标为(1，2)，代入曲线y(k0)得k2，故选d.4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a.2 b.3c. d.答案a解析易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线，如图所示，动点p到l2：x1的距离可转化为pf的长度，其中f(1,0)为抛物线y24x的焦点.由图可知，距离和的最小值，即f到直线l1的距离d2.5.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px (p0)，或x22py (p0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28