北师大版选修11 第二章 第2课时　椭圆简单性质的应用 学案.docx

第2课时椭圆简单性质的应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点p(1,2)与椭圆y21的位置关系答案当x1时，得y2，故y，而2，故点在椭圆外思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点p(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当p在椭圆外时，1；当p在椭圆上时，1；当p在椭圆内时，b0)，则点p与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件p在椭圆外1p在椭圆上1p在椭圆内b0)或1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|，|ab|，或|ab| .其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得1若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大()2在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭圆中心的距离最小()3在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长()4设a是椭圆内一点，以a为中点的弦是唯一的()类型一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆c：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆c：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解直线l的方程与椭圆c的方程联立，得方程组消去y，得9x28mx2m240.方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0且m1)相切，则该椭圆的长轴长为()a1 b.c2 d2考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案d解析由消去y，得(1m2)x22x6m20，由244(1m2)(6m2)0，解得m25，所以椭圆的长轴长为2.类型二弦长及中点弦问题例2已知椭圆1和点p(4,2)，直线l经过点p且与椭圆交于a，b两点(1)当直线l的斜率为时，求线段ab的长度；(2)当p点恰好为线段ab的中点时，求l的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由消去y可得x2180，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x20，x1x218.于是|ab| 63.所以线段ab的长度为3.(2)设a(x3，y3)，b(x4，y4)，则有两式相减得0，整理得kab由于p(4,2)是ab的中点，x3x48，y3y44，于是kab，于是直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练2已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于a，b两点，c是ab的中点，若|ab|2，oc的斜率为，求椭圆的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解方法一设a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.a，b为直线xy10上的点，1.由已知得koc，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|ab|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由得(ab)x22bxb10.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线ab的斜率k1，|ab|.|ab|2，2，1.设c(x，y)，则x，y1x.oc的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的最值问题解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|ab| .所以当m0时，|ab|最大，此时直线方程为yx.引申探究在本例中，设直线与椭圆相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，求aob面积的最大值及aob面积最大时的直线方程解可求得o到ab的距离d，又|ab|，saob|ab|d ，当且仅当m2m2时，等号成立，此时m.所求直线的方程为xy0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练3已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在直线y2上，点b在椭圆c上，且oaob，求|ab|的最小值考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题解(1)椭圆c：x22y24化为标准方程为1，a2，b，c，椭圆c的离心率e.(2)设a(t,2)，b(x0，y0)，x00.oaob，0，tx02y00，t.又x2y4，0x4.|ab|2(x0t)2(y02)24448，当且仅当，即x4时等号成立，|ab|的最小值为2.1点a(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()aa bac2a2 d1a1考点椭圆的简单性质题点点与椭圆的位置关系答案a解析由题意知1，解得a1 bm1且m3cm3 dm0且m3考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆公共点的个数问题答案b解析由(3m)x24mxm0，直线与椭圆有两个公共点，又m0且m3，m1且m3.4过点p(1,1)的直线交椭圆1于a，b两点，若线段ab的中点恰为点p，则ab所在的直线方程为_考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案x2y30解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则又两式相减得.ab所在的直线方程为x2y30.5已知以f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2解析由题意可设椭圆的方程为1(a2)，与直线方程xy40联立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)(2)联立直线与椭圆的方程(3)消元得到关于x或y的一元二次方程，并判断.(4)利用根与系数的关系设而不求(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解一、选择题1已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()a相交 b相切c相离 d相切或相交考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案c解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)24532641bm1或0m1c0mm，则1，若5b0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()a. b c. d考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案b解析根据椭圆的离心率为，得.由x0b，得yb2，y0，k.7已知a，b是椭圆1(ab0)长轴的两个端点，m，n是椭圆上关于x轴对称的两点，直线am，bn的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若椭圆的离心率为，则|k1|k2|的最小值为()a1 b. c. d.考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案a解析设m(x，y)，n(x，y)(axa)，则k1，k2，又因为椭圆的离心率为，所以，|k1|k2|21，故选a.8设f1，f2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过点f1，f2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为()a. b.c. d.考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆离心率的值答案b解析将xc代入椭圆方程，得y.由题意得2c，即b2ac，所以a2c2ac，则210，解得(负值舍去)二、填空题9若直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆公共点的个数问题答案(2,2)解析根据椭圆的范围知：2y2，2ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率为_考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆的离心率的值答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角mf1f2，且过点f1(c,0)mf1f22mf2f1，mf2f1，f1mf2，即f1mf2m.在rtf1mf2中，|f1f2|2c，|f1m|c，|f2m|c，由椭圆定义可得2acc，离心率e1.11若椭圆mx2ny21(m0，n0)与直线xy10交于a，b两点，若，则过原点与线段ab的中点m连线的斜率为_考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即0.1，kom.三、解答题12已知点a，b是椭圆c：1(a0，b0)与直线x3y20的交点，点m是ab的中点，且点m的横坐标为，若椭圆c的焦距为8，求椭圆c的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解设a(xa，ya)，b(xb，yb)，m(xm，ym)，由题意得两式相减，得0，即kab0，点m，0，a23b2.又c4，a224，b28，经检验，a224，b28符合题意，椭圆c的方程为1.13在平面直角坐标系xoy中，点p到两点(0，)，(0，)的距离之和等于4，设点p的轨迹为c.(1)写出c的方程；(2)设直线ykx1与c交于a，b两点，当k为何值时？此时|ab|的值是多少？考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积问题解(1)设p(x，y)，由椭圆的定义可知，点p的轨迹c是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆它的短半轴长b1，故曲线c的方程为x21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程组消去y，并整理得(k24)x22kx30，4k243(k24)0，故x1x2，x1x2.，x1x2y1y20.y1y2k2x1x2k(x1x2)1，x1x2y1y21.又x1x2y1y20，k，满足0.当k时，x1x2，x1x2.|ab|，而(x2x1)2(x2x1)24x1x24，|ab| .四、探究与拓展14已知椭圆c：y21的两焦点为f1，f2，点p(x0，y0)满足0y1，则|pf1|pf2|的取值范围为_答案2,2)解析因为0y1，所以p(x0，y0)在椭圆内部所以|f1f2|pf1|pf2|2a，即2|pf1|pf2|b0)与直线xy10相交于p，q两点，且(o为坐标原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围考点直线与