北师大版选修21 2.4　用向量讨论垂直与平行 学案.doc

4用向量讨论垂直与平行1能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系(重点)2能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(重点)3能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力(难点)基础初探教材整理1立体几何中垂直关系的向量表示阅读教材p40p41的部分，完成下列问题设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：lmabab0.(2)线面垂直：l1an1akn1(kr)(3)面面垂直：12n1n2n1n20.已知两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，的位置关系为_【解析】u1u21002100，u1u2，.【答案】教材整理2立体几何中平行关系的向量表示阅读教材p40p41的部分，完成下列问题设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2.(1)线线平行：lmabab(r)(2)线面平行：l1an1an10.(l1)(3)面面平行：12n1n2n1kn2(kr)1若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()a(0,1,2)b(3,6,9)c(1，2,3)d(3,6,8)【解析】(3,6,9)3(1,2,3)3a，a，(3,6,9)可作平面的一个法向量【答案】b2若直线l的方向向量是u(1,3,0)，平面的法向量是v(3,1,5)，则直线l与平面的位置关系为_【解析】uv1(3)31050，uv，l或l.【答案】l或l质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型向量法判断简单的平行、垂直关系(1)已知两条不同直线l1，l2的方向向量s1，s2，s1(1,1，1)，s2(1,2,3)则l1与l2是_(填“平行”或“垂直”)【导学号：32550037】【自主解答】s1s21112(1)30，s1s2，l1l2.【答案】垂直(2)已知两个不同平面1，2的法向量分别为n1，n2，n1(2,1，1)，n2(4，2,2)，则1_2(填“”或“”)【自主解答】n22n1，n1n2，12.【答案】(3)已知直线l的方向向量为s(1，1,1)，平面的法向量为n(3,7,4)，且l，则l_(填“”或“”)【自主解答】ns13(1)7410，ns，l，l.【答案】利用向量法证明和讨论立体几何中的平行、垂直问题，即为判断直线的方向向量与平面法向量之间的平行与垂直用向量讨论垂直问题如图241，在长方体abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e，f，e1分别是棱aa1，bb1，a1b1的中点图241求证：平面c1e1f平面cef.【精彩点拨】要证明两个平面垂直，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面法向量m，n，证明mn0.【自主解答】以d为原点，da，dc，dd1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设bc1，则c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1.设平面efc的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，所以即取m(1,0,1)同理平面c1e1f的法向量n(1,2,1)，因为mn1(1)2011110，所以平面c1e1f平面cef.应用向量证明空间中垂直关系的基本策略(1)证明线线垂直只需证两直线的方向向量垂直设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1l2，只需证ab，即ab0.(2)证明线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直(3)证明面面垂直可证两平面的法向量相互垂直再练一题1本例条件不变，求证：cf平面c1ef.【证明】由例题可知，e(1,0,1)，f(1,1,1)，c(0,1,0)，c1(0,1,2)，所以(1,0,1)，(1,0，1)，(0,1,0)所以11001(1)0，1001100.所以，.因为c1feff，所以cf平面c1ef.用向量讨论平行问题已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，e，f分别在db，d1c上，且ded1fa，求证：ef平面bb1c1c.【精彩点拨】由于ef平面bb1c1c，则只需求出直线ef的方向向量、平面bb1c1c的一个法向量，再证明二者数量积为0即可【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，则e，f，故，又n(0,1,0)显然为平面bb1c1c的一个法向量，而n(0,1,0)0，所以n，显然平面bb1c1c，ef平面bb1c1c.1证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；(2)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直2证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；(2)证明两个平面的法向量平行再练一题2在正方体ac1中，o，m分别为db1，d1c1的中点，证明：ombc1.【导学号：32550038】【证明】如图，以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则o(1,1,1)，m(0,1,2)，b(2,2,0)，c1(0,2,2)，(1,0,1)，(2,0,2)，ombc1.探究共研型立体几何中的向量方法探究1如何确定直线的方向向量？【提示】在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量解题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，且可以参与向量运算或向量的坐标运算探究2平面的法向量有何特征？【提示】(1)给定一点a和一个向量a，那么，过点a，以向量a为法向量的平面是完全确定的(2)一个平面的法向量有无数多个，任两个都是共线向量探究3一个平面的法向量不唯一，在求法向量时，要注意什么？【提示】求解过程中，方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特值(常赋值1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量探究4用空间向量解决立体几何问题的一般步骤有哪些？【提示】空间向量解决立体几何问题的“三步曲”是：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义如图242，在三棱锥pabc中，abbc，abbc，点o，d分别是ac，pc的中点，且oaop，op平面abc.求证：od平面pab.图242【精彩点拨】法一：证明与平面pab的法向量垂直法二：证明od与面pab内某一直线平行【自主解答】法一：因为abbc，o为ac的中点，所以obac，oaoboc，如图，建立空间直角坐标系，设oaa，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0,0，a)，d，所以.设平面pab的法向量为n(x，y，z)则由于(a,0，a)，(a，a,0)，所以令z1，得xy1，所以n(1,1,1)，所以n0，所以n，因为od不在平面pab内，所以od平面pab.法二：因为o，d分别是ac，pc的中点，所以，所以，即odap，od平面pab，pa面pab，所以od平面pab.用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面但必须说明直线在平面外再练一题3在长方体abcda1b1c1d1中，|ab|3，|ad|4，|aa1|2，点m在棱bb1上，且|bm|2|mb1|，点s在dd1上，且|sd1|2|sd|，点n，r分别为a1d1，bc的中点求证：mnrs.【导学号：32550039】【证明】法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得m，n(0,2,2)，r(3,2,0)，s.所以.，所以，因为mrs，所以mnrs.法二：设a，b，c，则cab，bac.所以，所以，又因为rmn，所以mnrs.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线上任意两个不同的点a、b表示的向量都可作为该直线的方向向量()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行()(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()【答案】(1)(2)(3)2若平面，的法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6，6)，则()abc，相交但不垂直d以上均错【解析】平面，的法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6,6)，v3u，uv，.【答案】a3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1,0,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有d中有an0.【答案】d4若向量a(1,2，4)，b(2，4,3)是平面内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m(2,3,1)，则l与的位置关系是_(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”)【导学号：32550040】【解析】am223410，bm4433150，am但m不垂直b，l与位置关系为相交但不垂直【答案】相交但不垂直5如图243，已知在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，d为ab的中点，acbcbb1.图243求证：(1)bc1ab1；(2)bc1平面ca1d.【证明】如图，以c1为原点，分别以c1a1，c1b1，c1c所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设acbcbb12，则a(2,0,2)，b(0,2,2)，c(0,0,