北师大版选修21 2.6.1 点到直线的距离、点到平面的距离 作业.docx

6距离的计算第1课时点到直线的距离、点到平面的距离1.正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为4,点e是cc1的中点,则点e到直线a1b的距离为()a.433b.26c.25d.32答案:d2.已知三棱锥o-abc,oaob,oboc,ocoa,且oa=1,ob=2,oc=2,则点a到直线bc的距离为()a.2b.3c.5d.3解析:如图所示,以o为坐标原点,直线oa,ob,oc分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由题设可知a(1,0,0),b(0,2,0),c(0,0,2),ab=(-1,2,0),bc=(0,-2,2),|ab|=1+4+0=5,|abbc|bc|=2.点a到直线bc的距离d=5-2=3.答案:b3.已知在长方体abcd-a1b1c1d1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点a1到截面ab1d1的距离是()a.83b.38c.43d.34解析:如图所示,以d为坐标原点,直线da,dc,dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则a1(2,0,4),a(2,0,0),b1(2,2,4),d1(0,0,4).设平面ab1d1的法向量为n=(x,y,z),则nad1=0,nab1=0,解得x=2z,且y=-2z.不妨设n=(2,-2,1),设点a1到平面ab1d1的距离为h,则h=aan|n|=43.答案:c4.设平面与平面的夹角是60,直线a是两平面的交线,p是两平面夹角内的一点,点p到,的距离分别为1 cm,2 cm,则点p到棱a的距离是()a.2213 cmb.213 cmc.23 cmd.4213 cm答案:a5.已知直线l过定点a(2,3,1),且方向向量为n=(0,1,1),则点p(4,3,2)到l的距离为()a.322b.22c.102d.2解析:pa=(-2,0,-1),|pa|=5,pan|n|=-12,故点p到直线l的距离d=|pa|2-pan|n|2=5-12=322.答案:a6.正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,点m在ac1上且am=12mc1,n为b1b的中点,则|mn|为.解析:以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则a(a,0,0),c1(0,a,a),na,a,a2.设m(x,y,z),点m在ac1上且am=12mc1,(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z),x=23a,y=a3,z=a3,得m2a3,a3,a3,|mn|=a-23a2+a-a32+a2-a32=216a.答案:216a7.设a(2,3,1),b(4,1,2),c(6,3,7),d(-5,-4,8),则点d到平面abc的距离为.解析:设平面abc的法向量n=(x,y,z).nab=0,nac=0,(x,y,z)(2,-2,1)=0,(x,y,z)(4,0,6)=0,即2x-2y+z=0,4x+6z=0,x=-32z,y=-z.令z=-2,则n=(3,2,-2).又ad=(-7,-7,7),点d到平面abc的距离为d=|adn|n|=|3(-7)+2(-7)-27|32+22+(-2)2=4917=491717.答案:4917178.在长方体abcd-a1b1c1d1中,aa1=ab=2,ad=1,点f,g分别是ab,cc1的中点,则点d1到直线gf的距离为.解析:如图所示,以d为坐标原点,直线da,dc,dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则d1(0,0,2),f(1,1,0),g(0,2,1),gf=(1,-1,-1),gd1=(0,-2,1),gd1gf|gf|=2-13=13,|gd1|=5,点d1到直线gf的距离d=|gd1|2-gd1gf|gf|2=5-13=423.答案:4239.如图所示,p为矩形abcd所在平面外一点,pa平面abcd.若已知ab=3,ad=4,pa=1,求点p到直线bd的距离.解(方法一)如图所示,作ahbd,垂足为h,连接ph.pa平面abcd,pabd,bd平面pah,得phbd,ph即为点p到直线bd的距离.在rtabd中,得ah=125.在rtpah中,由勾股定理,得ph=pa2+ah2=135,点p到直线bd的距离为135.(方法二)分别以ab,ad,ap所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则p(0,0,1),b(3,0,0),d(0,4,0),pb=(3,0,-1),bd=(-3,4,0),pbbd|bd|=-95,点p到直线bd的距离d=|pb|2-pbbd|bd|2=10-952=135,点p到直线bd的距离为135.10.已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直,ab=2,af=1,m是线段ef的中点,n为ac与bd的交点,求点b到平面cmn的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz,则由题意知c(0,0,0),m22,22,1,n22,22,0,b(0,2,0),则cm=22,22,1,cn=22,22,0.设n=(x,y,z)为平面cmn的一个法向量,则cmn=22x+22y+z=0,cnn=22x+22y=0.取x=1,得n=(1,-1,0).又cb=(0,2,0),故点b到平面cmn的距离d=|cbn|n|=|0-2+0|1+1+0=1.11.在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=4,ad=6,aa1=4,m是a1c1的中点,p在线段bc上,且|cp|=2,q是dd1的中点.求:(1)异面直线am与pq所成角的余弦值;(2)m到直线pq的距离;(3)m到平面ab1p的距离.解(1)如图所示,建立空间直角坐标系b-xyz,则a(4,0,0),m(2,3,4),p(0,4,0),q(4,6,2),am=(-2,3,4),pq=(4,2,2),|am|=(-2)2+32+42=29,|pq|=42+22+22=24,ampq=(-2)4+32+42=6,cos=ampq|am|pq|=17458.故异面直线am与pq所成角的余弦值为17458.(2)qm=(-2,-3,2),qp=(-4,-2,-2),qm在qp上的投影长=|qmqp|qp|=(-2)(-4)+(-3)(-2)+2(-2)(-4)2+(-2)2+(-2)2=566,故m到pq的距离为|qm|2-5662=17-256=4626.(3)设n=(x,y,z)是平面ab1p的一个法向量,则nab1,na