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3 2双曲线的简单性质第1课时双曲线的简单性质 o y x f1 f2 a1 a2 b2 b1 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 a1 a2 b1 b2 c 0 c 0 a 0 a 0 0 b 0 b 1 会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围 对称性 顶点 离心率 渐近线等几何性质 重点 难点 2 能根据双曲线的标准方程求双曲线的几何性质 重点 类比椭圆几何性质的研究方法 我们根据双曲线的标准方程得出双曲线的范围 对称性 顶点等几何性质 一 范围 对称轴 x轴 y轴 对称中心 原点 椭圆的中心 用 y代替y 方程不变 对称轴 x轴 y轴 对称中心 原点 双曲线的中心 用 x代替x 方程不变 用 x y代替x y 方程不变 二 对称性 实轴 a1a2虚轴 b1b2 顶点 a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b 实轴长 2a虚轴长 2b 顶点 a1 a 0 a2 a 0 长半轴长 a 短半轴长 b 实半轴长 a虚半轴长 b 三 顶点 长轴长 2a 短轴长 2b 长轴a1a2 短轴b1b2 四 离心率 2 根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形 1 等轴双曲线的离心率e 思考 根据以上几何性质能否较准确地画出双曲线的图形呢 c 1 x y o c 3 思考 双曲线向远处伸展时有什么规律 五 渐近线 o o 思考 双曲线向远处伸展时有什么规律 m q x y b 1 b 2 o f 2 f 1 a 2 a 1 m q x y b 1 b 2 o f 2 f 1 a 2 a 1 或 或 关于坐标轴和原点都对称 其中 共渐近线 的双曲线的应用 0表示焦点在x轴上的双曲线 0表示焦点在y轴上的双曲线 法二 巧设方程 运用待定系数法 设双曲线方程为 法二 设双曲线方程为 例1 求双曲线 的实轴长 虚轴长 焦点坐标 顶点坐标 离心率 渐近线方程 解 由题意可得 实轴长 2a 4 虚轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 顶点坐标 2 0 2 0 1 双曲线的渐近线方程为 a b c d c 2 如果双曲线的两条渐近线互相垂直 则双曲线的离心率为 3 双曲线x2 ky2 1的离心率为2 则实数k的值为 a 3b c 3d 解析 双曲线方程可化为则a2 1 b 4 中心在原点 实轴长为10 虚轴长为6的双曲线的标准方程为 a c b 5 2011 山东高考 已知双曲线 1 a 0 b 0 和椭圆 1有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 解析 由题意知双曲线的焦点为 0 0 即c 又因为双曲线的离心率为 所以a 2 故b2 3 双曲线的方程为 双曲线的几何性质 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c x a或x a y r y a或y a x r 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 a1
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