北师大版选修21 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的距离 作业.docx

第2课时直线到平面的距离、平面到平面的距离1.已知,在长方体abcd-a1b1c1d1中,棱a1a=5,ab=12,则直线b1c1到平面a1bcd1的距离是()a.5b.132c.6013d.8解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设ad=a,则a1(a,0,5),b(a,12,0),c(0,12,0),d1(0,0,5),b1(a,12,5),c1(0,12,5),a1b=(0,12,-5),bc=(-a,0,0),b1b=(0,0,-5).设平面a1bcd1的法向量为n=(x,y,z),则na1b=0,nbc=0,即12y-5z=0,ax=0.令y=5,则n=(0,5,12).因此直线b1c1到平面a1bcd1的距离为d=|b1bn|n|=6013.答案:c2.在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是线段bb1,b1c1的中点,则直线mn和平面acd1的距离是()a.12b.22c.13d.32解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),d1(0,0,1),m1,1,12,n12,1,1,c(0,1,0).所以ad1=(-1,0,1),mn=-12,0,12.所以mn=12ad1.又直线ad1与mn不重合,所以mnad1.又mn平面acd1,所以mn平面acd1.因为ad1=(-1,0,1),d1c=(0,1,-1),ac=(-1,1,0).设平面acd1的法向量n=(x,y,z), 则nad1=0,nd1c=0,所以-x+z=0,y-z=0,所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).又因为am=1,1,12-(1,0,0)=0,1,12,所以amn=1+12=32.所以直线mn到平面acd1的距离为|amn|n|=32.答案:d3.在长方体abcd-a1b1c1d1中,已知aa1=9,bc=63,n为bc的中点,则直线d1c1与平面a1b1n的距离是.答案:94.正方形abcd与abef的边长都为a,若二面角e-ab-c的大小为30,则ef到平面abcd的距离为.答案:12a5.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,e,f,g分别是bb1,cd,ab的中点,求直线gf到平面a1d1e的距离.解建立空间直角坐标系,如图所示,则a1(a,0,a),d1(0,0,a),a(a,0,0),b(a,a,0),b1(a,a,a),ea,a,a2,f0,a2,0.设平面a1d1e的一个法向量为n=(x,y,z),则na1d1=0,na1e=0,即(x,y,z)(-a,0,0)=0,(x,y,z)0,a,-a2=0,-ax=0,ay-a2z=0.x=0,y=z2,令z=2,得n=(0,1,2).直线gf到平面a1d1e的距离即为点f到平面a1d1e的距离,又fd1=0,-a2,a,所求距离d=|fd1n|n|=32a5=3510a.6.如图所示,在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=90,bc=2,cc1=4,eb1=1,d,f,g分别为cc1,b1c1,a1c1的中点,ef与b1d相交于点h.(1)求证:b1d平面abd;(2)求证:平面egf平面abd;(3)求平面egf与平面abd的距离.(1)证明如图所示,建立空间直角坐标系,设a1(a,0,0),则c1(0,2,0),f(0,1,0),e(0,0,1),a(a,0,4),b(0,0,4),d(0,2,2),ga2,1,0.b1d=(0,2,2),ab=(-a,0,0),bd=(0,2,-2),b1dab=0+0+0=0,b1dbd=0+4-4=0.b1dab,b1dbd.又abbd=b,b1d平面abd.(2)证明ab=(-a,0,0),bd=(0,2,-2),gf=-a2,0,0,ef=(0,1,-1).gfab,efbd.又gfef=f,abbd=b,平面egf平面abd.(3)解由(1)(2)知dh为平面efg与平面abd的公垂线段.设b1h=b1d=(0,2,2),则eh=(0,2,2-1),ef=(0,1,-1).eh与ef共线,21=2-1-1,即=14,b1h=0,12,12,hd=0,32,32,|hd|=322.因此,平面egf与平面abd的距离为322.7.如图所示,已知四边形abcd,eadm和mdcf都是边长为a的正方形,点p,q分别是ed和ac的中点,求:(1)pm与fq所成的角;(2)点p到平面efb的距离;(3)异面直线pm与fq的距离.解如图所示,以d为坐标原点,直线da,dc,dm分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,得d(0,0,0),a(a,0,0),b(a,a,0),c(0,a,0),m(0,0,a),e(a,0,a),f(0,a,a),则由中点坐标公式得pa2,0,a2,qa2,a2,0.(1)pm=-a2,0,a2,fq=a2,-a2,-a,pmfq=-a2a2+0-a2+a2(-a)=-34a2,且|pm|=22a,|fq|=62a,cos=pmfq|pm|fq|=-34a222a62a=-32,pm与fq所成的角为150.(2)设n=(x,y,z)是平面efb的单位法向量,即|n|=1,n平面efb,nef,且nbe. 又ef=(-a,a,0),be=(0,-a,a),即有x2+y2+z2=1,-ax+ay=0,-ay+az=0,得其中的一个解是x=33,y=33,z=33.n=33,33,33,pe=a2,0,a2.设所求距离为d,则d=|pen|=33a.(3)设e=(x1,y1,z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由pm=-a2,0,a2,fq=a2,-a2,-a,pme,fqe,得x12+y12+z12=1,-a2x1+a2z1=0,a2x1-a2y1-az1=0.求得其中的一个解e=33,-33,33.又mf=(0,a,0),设所求距离为m,m=|mfe|=-33a=33a.8.如图所示,在四棱锥p-abcd中,pa面abcd,底面abcd是直角梯形,bad=abc=90,pa=ad=2,ab=bc=1,试问在线段pa上是否存在一点m到平面pcd的距离为33?若存在,试确定点m的位置;若不存在,请说明理由.解根据图形的结构特点,可建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),p(0,0,2),c(1,1,0),d(0,2,0).则pc=(1,1,-2),pd=(0,2,-2).设直线ap上有一点m(0,0,z0),平面pcd的一个法向量为n=(x,y,z),则由npc=0,npd=0,得x+y-2z=0,2y-2z=0.令z=1,得x=1,y=1.即n=(1,1,1)为平面pcd的