北师大版选修21 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 作业.docx

4.2圆锥曲线的共同特征1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为()a.2b.22c.12d.24解析:结合题意,由椭圆的统一定义知e=221=22.答案:b2.设椭圆x2m2+y2m2-1=1(m1)上一点p到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则点p到直线x=m2的距离为()a.6b.2c.12d.277答案:b3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()a.x221-y228=1b.x228-y221=1c.x23-y24=1d.x24-y23=1解析:因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,所以2ba=3.又因为抛物线y2=47x的准线为x=-7,所以c=a2+b2=7.由,得a2=4,b2=3.故所求双曲线的方程为x24-y23=1.答案:d4.我们把离心率等于“黄金分割比”1+52的双曲线称为“优美双曲线”.设双曲线x2a2-y2b2=1是优美双曲线,f是其左焦点,a是它的右顶点,b(0,b)是其虚轴上一点,则abf等于()a.120b.90c.75d.60解析:由e=ca=1+52和点f(-c,0),a(a,0),b(0,b),可计算得bfba=0,故abf=90.答案:b5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为f1,f2,点p在双曲线的右支上,且|pf1|=4|pf2|,则此双曲线的离心率e的最大值为()a.43b.53c.2d.73解析:由题意知|pf1|-|pf2|=2a,即3|pf2|=2a,|pf2|=23a.设p(x0,y0),则x00,23ax0-a2c=e,23a=ex0-a,e=5a3x0.又|x0|a,ax01,e=53ax053.答案:b6.椭圆x225+y29=1上有一点p,它到左准线的距离等于2.5,则p到右焦点的距离为.解析:设f1,f2分别为左、右焦点,p到左准线的距离d=2.5,则p到左焦点的距离|pf1|=ed=4552=2,|pf2|=2a-|pf1|=10-2=8.答案:87.准线方程为x+y=1,相应的焦点为(1,1)的等轴双曲线方程是.解析:由题意知(x-1)2+(y-1)2|x+y-1|2=2,得xy=12.答案:xy=128.在平面直角坐标系xoy中,椭圆c的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),右焦点为f,右准线为l,短轴的一个端点为b.设原点到直线bf的距离为d1,f到l的距离为d2,若d2=6d1,则椭圆c的离心率为.解析:先将d2,d1用椭圆的基本量a,b,c表示出来,然后根据已知条件建立a,b,c的关系式,消去b,结合离心率的定义即可求得离心率的值.依题意,d2=a2c-c=b2c.又bf=c2+b2=a,所以d1=bca.由已知可得b2c=6bca,所以6c2=ab,即6c4=a2(a2-c2),整理可得a2=3c2,所以离心率e=ca=33.答案:339.在双曲线x216-y29=1上求一点p,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.解设p点的坐标为(x,y),f1,f2分别为双曲线的左、右焦点.由圆锥曲线的共同特征知,|pf1|x+165=|pf2|x-165.|pf1|=2|pf2|,点p在双曲线的右支上.2|pf2|x+165=|pf2|x-165.x=485.把x=485代入方程x216-y29=1,得y=35119.p点的坐标为485,35119.10.已知动点p(x,y)到定点f(7,0)的距离与它到定直线l:x=257的距离之比等于常数75,试求点p的轨迹方程.解设点p到直线l的距离为d,由题意知,动点p满足:|pf|d=75,即(x-7)2+y2x-257=75.化简,得x225-y224=1.所以所求动点p的轨迹方程是x225-y224=1.11.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,两准线间的距离为833,且椭圆上的点到右焦点f2的距离的最大值为2+3.(1)求椭圆的方程;(2)设m32,12为椭圆内的一个定点,p是椭圆上的一个动点,试求|pm|+233|pf2|的最小值与|pm|+|pf2|的最大值.解(1)a2c=433,a+c=2+3,解得a=2,c=3.于是b2=a2-c2=1,则椭圆的方程为x24+y2=1.(2)作椭圆右准线l:x=433,过点p作pnl于点n,则|pf2|pn|=e=32,于是|pn|=233|pf2|,|pm|+233|pf2|=|pm|+|pn|d(m,l),其中d(m,l)表示点m到准线l的距离,易求d(m,l)=536.|pm|+233|pf2|的最小值为536(此时点p为过点m且垂直于l的线段与椭圆的交点).由椭圆的定义知|pf2|+|pf1|=2a=4(f1为椭圆的左焦