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定积分 第四章 章末归纳总结 第四章 1 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线y f x x轴与直线x a x b a b 所围成的 如图所示 计算时可分为四步 分割 近似代替 求和 取极限 5 简单几何体的体积设由曲线y f x 直线x a x b与x轴围成的平面图形 如图所示 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为v 在区间 a b 内插入n 1个分点 使a x0 x1 x2 xn 1 xn 1 把曲线y f x a x b分割成n个垂直于x轴的 小长条 如图所示 设第i个 小长条 的宽是 xi xi xi 1 i 1 2 n 这个 小长条 绕x轴旋转一周就得到一个厚度是 xi的小圆片 如图所示 当 xi很小时 第i个小圆片近似于底面半径为yi f xi 的小圆柱 因此 第i个小圆台的体积vi近似为vi f2 xi xi 定积分的概念 点评 用分割 近似代替 求和 取极限这四个步骤求曲边梯形的面积和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累积的思维方法 分析 路程问题和曲边梯形面积问题解决的过程都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值 分割得越细 就越接近估计值 点评 求曲边梯形的面积或路程的估计值时 通常把区间 a b n等分 分别利用等分后的各个小区间的左端点和右端点的值来估计曲边梯形的面积或路程 定积分的计算 点评 分段函数求定积分时 一定要按分段的标准确定每一段上的表达式 再利用定积分的性质去求 定积分的几何意义 点评 在求定积分时 当用定义求解很麻烦时 可考虑用定积分的几何意义求解 当然 当用几何意义求解的图形的面积一般是比较好求的或规则图形的面积 利用定积分求平面图形的面积 利用定积分求旋转体的体积 定积分的综合应用 2 由y sinx及y sinx在x 0 时所围成的图形的面积为 a 2b c 2 d 4 答案 d 二 填空题4 抛物线y x2 4x 3及其在点a 1 0 和点b 3 0 处的切线所围图形的面积为 5 求由y ex x 2 y 1围成的曲线梯形的面积时 若选择x为积分变量 则积分区间是 答案 0 2 解析 如图 阴影部分就是所求曲边梯形面积 积分区间为 0 2 三 解答题6 如图 设点p在曲线y x2上 从原点向a 2 4 移动 记直线op与曲线y x2所围成图形的面积为s1 直线op 直线x 2与曲线y x2所围成
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