北师大版选修45 数学归纳法的应用 课件（26张）.pptx

3 2数学归纳法的应用 第二章 3数学归纳法与贝努利不等式 学习目标1 会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式 2 了解贝努利不等式 并会证明贝努利不等式 3 体会归纳 猜想 证明的思想方法 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式 思考1用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么 答案 1 归纳奠基 验证初始值 2 归纳递推 在假设n k成立的前提下 证明n k 1时问题成立 思考2证明不等式与证明等式有什么不同 答案证明不等式需注意的是对式子进行 放缩 梳理利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时 由n k时命题成立 推导n k 1命题成立时 常常要与其他方法 如 等结合进行 比较法 分析法 综合法 放缩法 知识点二贝努利不等式 对任意实数x 1和任何正整数n 有 1 x n 1 nx 题型探究 类型一数学归纳法与放缩法结合证明不等式 证明 2 假设当n k k n k 2 时 命题成立 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 不等式对一切n n n 2都成立 反思与感悟在归纳递推过程中常用到放缩法 这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一 2 假设当n k k 1 k n 时 不等式成立 证明 所以当n k 1时 不等式成立 由 1 2 知 对于任意大于1的正整数n 不等式均成立 类型二利用数学归纳法证明与数列有关的不等式 当n 2时 an sn sn 1 即sn sn 1 2snsn 1 解答 假设当n k k 1 k n 时 不等式成立 证明 即当n k 1时 不等式成立 由 可知 对任意n n 不等式都成立 反思与感悟 1 首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差 等比数列的基础知识 这是解决这类问题的基础 2 此类题型通常与数列的递推公式 通项公式有关 有时要证明的式子是直接给出 有时是根据条件从前几项入手 通过观察 猜想 归纳出一个式子 然后再用数学归纳法证明 证明 达标检测 1 2 4 3 解析由题知 n的最小值为3 所以第一步验证n 3是否成立 1 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步验证a n 1b n 2c n 3d n 4 答案 解析 1 2 4 3 答案 解析 1 2 4 3 答案 解析 1 2 4 3 4 用数学归纳法证明 2n 2 n2 n n 证明 1 2 4 3 证明 1 当n 1时 左边 21 2 4 右边 1 左边 右边 当n 2时 左边 22 2 6 右边 22 4 所以左边 右边 当n 3时 左边 23 2 10 右边 32 9 所以左边 右边 因此当n 1 2 3时 不等式成立 2 假设当n k k 3且k n 时 不等式成立 即2k 2 k2 当n k 1时 2k 1 2 2 2k 2 2 2k 2 2 2k2 2 k2 2k 1 k2 2k 3 k2 2k 1 k 1 k 3 k2 2k 1 k 1 2 因为k 3 所以k 3 0 k 1 0 1 2 4 3 所以2k 1 2 k 1 2 故当n k 1时 原不等式也成立 由 1 2 知 原不等式对任何n n 都成立 规律与方法 数学归纳法证明不等式的技巧 1 证明不等式时 由n k到n k 1的推证过程与证明等式有所不同 由于不等式中的不等关系 需要我们在证明时 对原式进行 放大 或者 缩小 才能使用到n k时的假设 所以需要认真分析 适当放缩 才能使问题简单化 这是利用数学归纳法证