小学奥数36个经典（30-32）.doc

第30讲 几何综合2内容概述 勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系与上述知识相关的几何计算问题各种具有相当难度的几何综合题典型问题 2如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:(平方厘米).方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形 有DFB、DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,DBC的面积(平方厘米) 阴影部分DFB的面积为50平方厘米4.如图30-4，A+B+C+D+E+F+G+H+I等于多少度? 【分析与解】 为了方便所述，如下图所示，标上数字，有I=1800 -(1+2),而1=1800-3, 2=1800-4,有I=3+4-1800 同理, H=4+5-1800, G=5+6-1800, F=6+7-1800, E=7+8-1800, D=8+9-1800, C=9+10-1800, B=10+11-1800, A=11+3-1800 则A+B+C+D+E+F+G+H+I=2(3+4+5+6+7+8+9+10+11)-91800 而3+4+5+6+7+8+9+10+11正是9边形的内角和为(9-2)1800=12600 所以A+B+C+D+E+F+G+H+I=212600-91800=90006长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1a2a3a4a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一 【分析与解】 我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出第一类情况：以 为特征的有7组：第二类情况：以 为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，25，5，14.5)(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).(1,2,2.4,4.8,5),.8.如图30-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,BC的中点则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母， 因为AE平行于DC，所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2，所以,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2 有,而(平方厘米) 有EG:GD=,所以(平方厘米) (平方厘米)同理可得(平方厘米), (平方厘米) , (平方厘米)又=24-12=12(平方厘米) 所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)10图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG 设AEG的面积为x，显然EBG、BFG、FCG的面积均为x，则ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)12如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1求阴影部分的面积 【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B大半圆的面积为小圆的面积.而小圆的面积为，则，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为14.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积(取3.14)【分析与解】 如下图所示， 如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分显然有阴影部分面积为,而直角三角形、ACD面积相等所以 即AD边扫过部分的面积为7065平方厘米第31讲 图形变换内容概述 本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨 1.三角形ABC与,如果它们的对应边成比例,即,我们就称它们相似，记作ABC. 这个比值K叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1，就称这两个三角形全等,记作ABC. 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似； 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似； 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为l,则这两个三角形全等) 2.两条直线平行,则：反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方典型问题2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知ABD+BDC=900,求四边形ABCD的面积 【分析与解】 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做ABD关于L的对称图形BD.连接C 因为ABD+BDC=9000而ABD=DB=900,所以有DB+BDC=900 那么CD为直角三角形,由勾股定理知=2500,所以.而在BC中,有B=AD=48,有482+142=2500,即B2+BC2=C2,即BC为直角三角形有.而|. 评注:.本题以ABC+BDC=900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形.这样面积就很好解决了.对于这道题我们还可以将BCD作L的对称图形.如下：4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程【分析与解】 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图 在下图中有BCA=1100,所以ACD=700 于是=+=+=700+400=1100； 即=1100=；又因为只是移动的变化,所以=；则是一等腰梯形 于是,=1800-1100=700； 又=300,所以=700-300=400.6.如下图,ABC是边长为1的等边三角形,BCD是等腰三角形BD=CD，顶角BDC=1200,MDN=600,求AMN的周长 【分析与解】 如下图, 延长AC至P,使CP=MB,连接DP.则有MBD=600+PCD；CP=BM；BD=CD,所以有MBDPCD.于是MDC=PDC；又因为MDB+NDC=600,所以PDC+NDC=NDP=600；MD=PD在MDN、PND中,NDM=NDP,ND=ND,MD=PD,于是MNDPND.有MN=PN 因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.即AMN的周长为2.8.下图为半径20厘米、圆心角为1440的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和 【分析与解】 如下图,做出辅助线 KMA与ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有KMAANG,而LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积 扇形KGA的圆心角为3=540,所以扇形面积为平方厘米 那么KGEB的面积为60=120平方厘米 如下图,做出另一组辅助线 JQA与ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有JQAARH,=5A,而PQA是两个三角形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等 所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积 扇形JHA的圆心角为,所以扇形面积为平方厘米 那么JHDC的面积为平方厘米 所以,原题图中阴影部分面积为803.14=251.2平方厘米第32讲 勾股定理内容概述1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方 公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺2. 公元前11世纪的周髀算经中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实汉朝张苍、狄昌寿整理的九章算术第九卷为句股.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦 句股各自乘，并，而开方除之，即弦中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图如下,在弦图中有3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法： 梯形面积=(上底下底)高 =(a+b)(a+b)=(a+b)2；三个直角三角形的面积和=ab+ab+c2；梯形面积=三个直角三角形面积和 (a+b)2=ab+ab+c2,所以a2+b2=c2.4. 公元前3世纪的欧几里得在几何原本中给出一种证明,简叙如下： 如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点 易证AFCBAE,有AF.FK=,EA.CA=,所以；易证CBGHBA，有BG.KG=,BH.IH=,所以. 而即有AB2=AC2+CB2.5. 勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a2+b2=c2 如:u=2,v=l时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85 当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.典型问题2.智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A5,问:智能机器猫到达A6点与O点的距离是多少厘米?【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米有=362+482,即OA2=60所以,A6点到O点的距离为60厘米4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少? 【分析与解】 如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81所以原图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米6.若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的,请说明理由.(写出证明及计算过程)【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面 积为(x+1)=,所以x=. 那么,最小正方形的边长为.由于是四角对称的剪去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1=,AAl=BBl=CCl=DDl= 证明及计算过程略8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是110这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少? 【分析与解】 注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到) A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A， 那么显然不能组成边长为10的正方形； 如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足 对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足10