北师大版选修45 平均值不等式求最值 课件（40张）.pptx

第2课时平均值不等式求最值 第一章 3平均值不等式 学习目标1 理解用平均值不等式求最值所需条件 2 会用平均值不等式求最值 3 能用平均值不等式解决简单的实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 答案 三个实数均为正数 三个正数的和 或积 为定值 三个正数可以相等 知识点利用平均值不等式求最值 思考2在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件 梳理 1 设x y都是正数 则有 若x y s 和为定值 则当时 积xy取得最大值 若xy p 积为定值 则当时 和x y取得最小值 2 设x y z都是正数 则有 若x y z s 和为定值 则当时 积xyz取得最大值 若xyz p 积为定值 则当时 和x y z取得最小值 x y x y x y z x y z 题型探究 类型一利用平均值不等式求最值 命题角度1二元平均值不等式的应用 解答 f x 的最大值是 12 解答 反思与感悟在应用平均值不等式求最值时 分以下三步进行 1 首先看式子能否出现和 或积 的定值 若不具备 需对式子变形 凑出需要的定值 2 其次 看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 3 利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不满足 则可通过函数的单调性或导数解决 跟踪训练1已知x 0 y 0 且x 2y xy 30 求x y的最大值 解答 命题角度2三元平均值不等式的应用 解答 当且仅当x 1 x 1 3 2x 即x 3时等号成立 ymin 4 解答 反思与感悟 1 利用三元平均值不等式求最值 可简记为 积定和最小 和定积最大 2 应用平均值不等式 要注意当三个条件 一正 二定 三相等 同时具备时 方可取得最值 其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性 获得定值需要一定的技巧 如 配系数 拆项 分离常数 平方变形等 解答 2 已知x r 求函数y x 1 x2 的最大值 解答 2x2 1 x2 1 x2 2 类型二解决恒成立问题 答案 解析 当且仅当x y时 等号成立 2 若不等式x2 ax 1 0对于一切x 0 2 恒成立 则a的取值范围是 答案 解析 2 解析 x2 ax 1 0 x 0 2 当且仅当x 1时等号成立 反思与感悟解决某些含参数的不等式恒成立问题时 可通过分离参数的方法 使参数与变量分别位于不等式两端 从而将问题转化为求关于变量的函数的最值 进而通过平均值不等式求出参数的取值范围 解答 解由x 0 y 0 且x y 4 类型三利用平均值不等式解决实际问题 例4某森林出现火灾 火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延 消防站接到警报立即派消防队员前去 在火灾发生后5分钟到达救火现场 已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2 所消耗的灭火材料 劳务津贴等费用为每人每分钟125元 另附加每次救火所耗损的车辆 器械和装备等费用平均每人100元 而烧毁一平方米森林大约损失60元 问应该派多少消防队员前去救火 才能使总损失最少 解答 解设派x名消防员前去救火 用t分钟将火扑灭 总损失为y y 灭火材料 劳务津贴费 车辆 器械 装备费 森林损失费 125tx 100 x 60 500 100t 即当x 27时 y有最小值36450 故应该派27名消防队员前去救火 才能使总损失最少 最少损失为36450元 反思与感悟利用平均值不等式解决实际问题的步骤 1 分析题意 建立函数 或不等式 模型 2 化简整理使表达式出现平均值不等式的结构形式 3 考查是否具备利用平均值不等式求解的条件 跟踪训练4有一块边长为36cm的正三角形铁皮 从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器 要使这个容器的容积最大 剪下的三个四边形面积之和等于多少 最大容积是多少 解答 解剪下的三个全等的四边形如图所示 达标检测 解析 x 0 答案 解析 1 2 4 3 5 1 2 4 3 5 2 已知x为正数 下列各选项求得的最值正确的是 答案 解析 1 2 4 3 5 c中 x 0 1 2 4 3 5 3 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站a 5千米处b 4千米处c 3千米处d 2千米处 答案 解析 1 2 4 3 5 答案 解析 1 2 4 3 5 解析因为a 0 b 0 答案 解析 9 规律与方法 1