36空间角与空间距离.doc

江苏省2014届一轮复习数学试题选编21：空间角与空间距离（教师版）一、解答题 如图,在正四棱柱中,点是的中点,点在上,设二面角的大小为(1)当时,求的长;ABCNMD(2)当时,求的长.【答案】【命题意图】本小题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 设,则各点的坐标为 ,所以 . 设平面DMN的法向量为,则, 即.令是平面DMN的一个法向量.设平面A1DN的法向量为,则, 即.令是平面A1DN的一个法向量.从而 (1)因为,所以,解得.从而.所以. (2)因为, 所以,因为,所以,解得.根据图形和(1)的结论可知,从而CM的长为. 如图,四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900 (1)求证:PCBC(2)求点A到平面PBC的距离【答案】(1)PD平面ABCD,PDBC,又BCCD,BC面PCD,BCPC. (2)设点A到平面PBC的距离为h, 如图所示,是长方体,已知,是棱的中点,求直线与平面所成角的余弦值.【答案】解:以为坐标原点,为坐标轴,建立坐标系, 则, 设平面的一个法向量为 由可得的一个值是, 设直线与平面所成的角是,则 , 故直线与平面所成角的余弦是 如图,PA平面ABCD,AD/BC,ABC=90,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB的中点.(1)求证:AE平面PBC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.PABCDE(第22题)【答案】(1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,PABCDExyz则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),P(0,0,1),E(,0,), =(,0,),=(0,1,0),=(-1,0,1).因为=0,=0,所以,.所以AEBC,AEBP.因为BC,BP平面PBC,且BCBP=B, 所以AE平面PBC (2)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.因为=(-1,2,0),=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0.令x=2,则y=1,z=3.所以n=(2,1,3)是平面PCD的一个法向量 因为AE平面PBC,所以是平面PBC的法向量.所以cos=.由此可知,与n的夹角的余弦值为.根据图形可知,二面角B-PC-D的余弦值为- 如图,在棱长为1的正方体A中,E、F分别为和的中点.(1)求异面直线AF和BE所成的角的余弦值:(2)求平面AC与平面BF所成的锐二面角:(3)若点P在正方形ABCD内部或其边界上,且EP平面BF,求EP的取值范围.【答案】解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,则, , 所求的锐二面角为 (3)设() ,由得 即, 当时, 当时, 故EP的取值范围为 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.ABCC1B1A1FD 2013江苏省高考压轴【答案】(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,以B点为原点,BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. ABCC1B1A1FDxyz 因为AC=2,ABC=90,所以AB=BC=, 从而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),A1,C1,D,E. 所以, 设AF=x,则F(,0,x), . ,所以 要使CF平面B1DF,只需CFB1F. 由=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2, 故当AF=1或2时,CF平面B1DF. (2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1). 设平面B1CF的法向量为,则由得 令z=1得, 所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 如图,圆锥的高,底面半径,为的中点,为母线的中点,为底面圆周上一点,满足.(1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求二面角的正弦值.OEDAFBP【答案】 正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】解:取BC中点O,连AO,为正三角形, , 在正三棱柱中,平面ABC平面,平面, 取中点为,以O为原点,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则., ,. ,面 (2)设平面的法向量为,. ,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面, 为平面的法向量, 二面角的余弦值为 【答案】以O点为原点,OB为x轴,OC为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系.由题意知SBO=45,SO=3. O(0,0,0),C(0,0),A(0,-,0),S(0,0,3),B(3,0,0). ABOCDSxzy (1)设=l(0l1),则=(1-l)+l=(3(1-l),0,3l), 所以=(3(1-l),-,3l). 因为=(3,0),CDAB,所以=9(1-l)-3=0,解得l=. 故=时, CDAB (2)平面ACB的法向量为n1=(0,0,1),设平面SBC的法向量n2=(x,y,z), 则,解得,取n2=(1, ,1), 所以cos=, 又显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的余弦值的大小为 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA平面ABC,ABC是边长为2的正三角形,D,E分别为PB,PC中点.(1)若PA=2,求直线AE与PB所成角的余弦值;(2)若平面ADE平面PBC,求PA的长.ABBCBEBDBPB（第22题）【答案】解(1)如图,取AC的中点F,连接BF,则BFAC.以A为坐标原点ABBCBEBDBPB（第22题）yxzF过A且与FB平行的直线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),从而=(,1,-2), =(0,1,1). 设直线AE与PB所成角为,则cos=|=.即直线AE与PB所成角的余弦值为 (2)设PA的长为a,则P(0,0,a),从而=(,1,-a),=(0,2,-a).设平面PBC的法向量为n1=(x,y,z),则n1=0,n1=0,所以x+y-az=0,2y-az=0.令z=2,则y=a,x=a.所以n1=(a,a,2)是平面PBC的一个法向量. 因为D,E分别为PB,PC中点,所以D(,),E(0,1,), 则=(,),=(0,1,).设平面ADE的法向量为n2=(x,y,z),则n2=0,n2=0.所以x+y+z=0,y+z=0.令z=2,则y=-a,x=-a.所以n2=(-a,-a,2)是平面ADE的一个法向量 因为面ADE面PBC,所以n1n2,即n1n2=(a,a,2)(- a,-a,2)=-a2-a2+4=0,解得a=,即PA的长为 三棱柱在如图所示的空间直角坐标系中,已知,.是的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求二面角的大小的正弦值.【答案】 如图,在正三棱柱中,已知,分别是棱,上的点,且,.求异面直线与所成角的余弦值;求二面角的正弦值.（第22题图）ABCA1B1C1MN【答案】以的中点为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系(如图). 则（第25题图）ABCA1B1C1MNxyzO,. 所以,. 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为,因为, 由得令,则. 所以, 所以二面角的正弦值为 如图,在三棱柱中,且.(1)求棱与BC所成的角的大小;(2)在棱上确定一点P,使二面角的平面角的余弦值为.（第22题）BACA1B1C1【答案】【解】(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 则 , ,. , 故与棱BC所成的角是 BACA1B1C1zxyP(2)P为棱中点, 设,则. 设平面的法向量为n1, 则 故n1 而平面的法向量是n2=(1,0,0),则, 解得,即P为