北师大版必修三 互斥事件 学案.doc

2.3互斥事件学习目标1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断.预习教材p138146完成下列问题：知识点1集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合a与集合b中的所有元素都相同ab子集a中任意一元素均为b中的元素ab或ba空集空集是任何集合的子集b知识点2集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示abab若全集为u，则集合a的补集为ua图形表示意义 a，或xb a，且xb u，且xa知识点3互斥事件与对立事件定义公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件a与b称作互斥事件(1)若a与b互斥，则p(ab)p(a)p(b)；(2)若a1，a2，an中任意两个事件互斥，则p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)对立事件事件“a不发生”称为a的对立事件，记作，对立事件也称为逆事件，在每一次试验中，相互对立的事件a与不会同时发生，并且一定有一个发生p()1p(a)给定事件a，b，我们规定ab为一个事件，事件ab发生是指事件a和事件b至少有一个发生.【预习评价】1.在同一试验中，设a，b是两个随机事件，若ab，则称a与b是两个对立事件，此说法对吗？提示不对，若ab，仅能说明a与b的关系是互斥的，只有ab为必然事件，ab为不可能事件时，a与b才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件a，b，p(ab)p(a)p(b)一定成立吗？提示不一定.只有a与b互斥时，p(ab)p(a)p(b)才成立.知识点4概率的几个基本性质1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0 1之间，从而任何事件的概率在0 1之间，即0p(a)1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2.互斥事件的概率加法公式当事件a与事件b互斥时，ab发生的频数等于a发生的频数与b发生的频数之和，从而ab的频率fn(ab)fn(a)fn(b)，则概率的加法公式为p(ab)p(a)p(b).3.对立事件的概率公式若事件a与事件b互为对立事件，则ab为必然事件，p(ab)1.再由互斥事件的概率加法公式p(ab)p(a)p(b)，得p(a)1p(b).【预习评价】(正确的打，错误的打)(1)事件发生频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)两互斥事件的概率和为1()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)题型一事件的关系与判断【例1】判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.解(1)是互斥事件.理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.(2)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.规律方法如果a、b是两个互斥事件，反映在集合上，是表示a、b这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.【训练1】一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件a：命中环数大于7环；事件b：命中环数为10环；事件c：命中环数小于6环；事件d：命中环数为6、7、8、9、10环.解a与c互斥(不可能同时发生)，b与c互斥，c与d互斥，c与d是对立事件(至少一个发生).题型二概率的加法公式【例2】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件a“抽到的是一等品”，事件b“抽到的是二等品”，事件c“抽到的是三等品”，且p(a)0.7，p(b)0.1，p(c)0.05.求下列事件的概率：(1)事件d“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件e“抽到的是二等品或三等品”.解(1)事件d即事件ac，因为事件a“抽到的是一等品”和事件c“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，p(d)p(ac)p(a)p(c)0.70.050.75.(2)事件e即事件bc，因为事件b“抽到的是二等品”和事件c“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，p(e)p(bc)p(b)p(c)0.10.050.15.规律方法在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.【训练2】在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80 89分的概率是0.51，在70 79分的概率是0.15，在60 69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解分别记小明的成绩在90分以上，在80 89分，在70 79分，在60 69分为事件b，c，d，e，这四个事件是彼此互斥的，根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是p(bc)p(b)p(c)0.180.510.69.小明考试及格的概率为p(bcde)p(b)p(c)p(d)p(e)0.180.510.150.090.93.【探究1】同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.解方法一设“至少有一个5点或6点”为事件a，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以p(a).方法二设“至少有一个5点或6点”为事件a，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点也没有6点”，记为.如上表，“既没有5点也没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点也没有6点”的概率为p().所以“至少有一个5点或6点”的概率为p(a)1p()1.【探究2】玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件a为“取出1个红球”，事件b为“取出1个黑球”，事件c为“取出1个白球”，事件d为“取出1个绿球”.已知p(a)，p(b)，p(c)，p(d).(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.解方法一(1)因为事件a，b，c，d彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为p(ab)p(a)p(b).(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为p(abc)p(a)p(b)p(c).方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即ab的对立事件为cd，所以p(ab)1p(cd)1p(c)p(d)1，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即abc的对立事件为d，所以p(abc)1p(d)1，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.【探究3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a、b、c，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)p(a)，p(b)，p(c).故事件a，b，c的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为m，则mabc.a、b、c两两互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，则事件n与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，p(n)1p(ab)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.规律方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由p(a)1p()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法.课堂达标1.对同一事件来说，若事件a是必然事件，事件b是不可能事件，则事件a与事件b的关系是()a.互斥不对立b.对立不互斥c.互斥且对立d.不互斥、不对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件a与事件b的关系是互斥且对立.答案c2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设a两次都击中飞机，b两次都没击中飞机，c恰有一弹击中飞机，d至少有一弹击中飞机，下列关系不正确的是()a.adb.bdc.acdd.acbd解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，acd至少有一弹击中飞机，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，bd为必然事件，所以acbd.答案d3.从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合a，b，c的子集的概率是，则该子集恰是集合a，b，c的子集的概率是_.解析该子集恰是a，b，c的子集的概率为p1.答案4.从几个数中任取实数x，若x(，1的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x(1,0)的概率是_.解析设“x(，1”为事件a，“x是负数”为事件b，“x(1,0)”为事件c，由题意知，a，c为互斥事件，bac，p(b)p(a)p(c)，p(c)p(b)p(a)0.50.30.2.答案0.25.某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为_.解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是10.010.99.答案0.99课堂小结1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥未必对立，对立一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式p(ab)p(a)p(b).3.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.基础过关1.已知p(a)0.1，p(b)0.2，则p(ab)等于()a.0.3b.0.2 c.0.1d.不确定解析由于不能确定a与b是否互斥，所以p(ab)的值不能确定.答案d2.若a、b是互斥事件，则()a.p(ab)1d.p(ab)1解析a、b是互斥事件，p(ab)p(a)p(b)1(当a、b是对立事件时，p(ab)1).答案d3.从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数.则在上述事件中，是对立事件的是()a. b. c. d.解析从1 9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数.故选c.答案c4.若a，b为互斥事件，p(a)0.4，p(ab)0.7，则p(b)_.解析因为a，b为互斥事件，所以p(ab)p(a)p(b).所以p(b)p(ab)p(a)0.70.40.3.答案0.35.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有_人.解析可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1.再由题意，知nn12，解得n120.答案1206.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为a，b，c，d，则事件a，b，c，d显然是两两互斥的.由题意，得即解得故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是.7.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示.血型ababo该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人互相可以输血，o型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是b型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为a，b，ab，o的事件分别为a，b，c，d，它们彼此互斥的.由已知得p(a)0.28，p(b)0.29，p(c)0.08，p(d)0.35.由于b，o型血可以输给b型血的人，因此“可以输血给b型血的人”为事件bd，根据互斥事件的概率加法公式，得：p(bd)p(b)p(d)0.290.350.64.(2)由于a，ab型血不能输给b型血的人，因此“不能输血给b型血的人”为事件ac，所以p(ac)p(a)p(c)0.280.080.36.能力提升8.下列四个命题：对立事件一定是互斥事件；若a，b为两个事件，则p(ab)p(a)p(b)；若事件a，b，c两两互斥，则p(a)p(b)p(c)1；事件a，b满足p(a)p(b)1，则a，b是对立事件.其中错误命题的个数是()a.0 b.1 c.2 d.3解析对立事件首先是互斥事件，故正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中，设事件a正面为奇数，b正面为1,2,3，则p(a)p(b)1.而a，b不互斥，故不正确.答案d9.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件a表示“小于5的偶数点出现”，事件b表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件a (表示事件b的对立事件)发生的概率为()a. b. c. d.解析由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件a与事件互斥，由概率的加法计算公式可得p(a)p(a)p().答案c10.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35)上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_.解析由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为10.30.250.45.答案0.4511.同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是_.解析记“既不出现5点也不出现6点”的事件为a，则p(a)，“5点或6点至少出现一个”的事件为b.因为ab，ab为必然事件，所以a与b是对立事件，则p(b)1p(a)1.故5点或6点至少出现一个的概率为.答案12.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至5至9至13至17件顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 .(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.解(1)由已知得25y1055，x30