高中数学单元测试(难度系数：0.40-0.26)-20160105.doc

高中数学单元测试(难度系数：0.40-0.26)-20160105满分:班级：_姓名：_考号：_一、单选题（共10小题）1已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD2如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（ ）ABCD3四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球O的体积等于（ ）ABCD4一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）ABCD5若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）A至少与，中的一条相交B与，都相交C至多与，中的一条相交D与，都不相交6已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若垂直于同一平面，则与平行B若平行于同一平面，则与平行C若不平行，则在内不存在与平行的直线D若不平行，则与不可能垂直于同一平面7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）ABCD58如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )ABCD9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）A棱柱B棱台C圆柱D圆台10半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）.ABCD二、填空题（共5小题）11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点点在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点所构成的轨迹的周长等于 12.某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角形，则三棱锥的表面积是_.13.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 14. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_.15.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸. （注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）三、证明题（共6小题）16.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，BAC=ACD=，EAC=，AB=AC=AE。（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP/平面EAB？请证明你的结论；（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值。17.如图，四棱锥的底面为正方形，侧面PAD底面ABCD。为等腰直角三角形，且。 E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点。（）求证：EF平面PAD；（）求证：EF平面PCD；（）求二面角的余弦值。18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=3,BC=4,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中点。 图（）证明：CD平面PAE（）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。19.如图所示，直四棱柱ABCD中，AD，AB，且BC，点E在棱AB上证明：若时，求点A到平面的距离；. 等于何值时，二面角的大小等于20.如图，平面，为的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值21.四棱柱中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A.证明：平面A求直线B与平面所成角的正弦值；若上有一点P，使得，且二面角的大小为，试求的值.答案部分1.考点：空间的角试题解析：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角, 由三角余弦定理，易知.故选D。答案：D 2.考点：点线面的位置关系试题解析：因为正方体棱长为，所以，截面面积随的增大变化情况如下：当时，点由向移动，此时截面为三角形，面积逐渐变大，函数关系为，当时，点由向移动，此时截面为六边形，面积为定值，当时，根据对称性面积逐渐减小。所以当或时截面面积最小，当或时截面面积最大为，所以值域为故选D答案：D 3.考点：空间几何体的表面积与体积立体几何综合试题解析：设底面正方形的边长为，根据题意知当球心O在正方形的对角线的交点上时，其体积最大，此时球的半径为，在POE中可求得斜高PE=，此时的表面积为，解得，所以球的半径为，所以球的体积为，故选B。答案：B 4.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中侧面底面，且，取的中点，连接，则在中，所以.故选C答案：C 5.考点：点线面的位置关系试题解析：若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，选答案：A 6.考点：点线面的位置关系试题解析：对于选项A，与也可以相交，故A错误；对于选项B，也可以相交，故B错误；对于选项C，在内找一条平行于交线的直线，则直线平行于，故C错误；对于选项D，假设，则由线面垂直的性质定理知，与条件不平行矛盾，故假设不成立，原命题成立，即D正确。答案：D 7.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：直观图如图：在过点P作AB的垂线交AB于点D，连接DC,所以，表面积S=2+.答案： 8.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意，设，故，因为，解得，故该球的半径，所以。答案：A 9.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：由俯视图知，该几何体是圆柱和圆台的组合体，可排除A，B，由正视图可排除C，故选D。答案：D 10.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：试题分析：半圆的弧长为，所以圆锥的底面圆的周长为，所以半径，半圆的半径为圆锥的母线，所以圆锥的高为，体积为考点：锥体的体积点评：求解本题关键是找到半圆的半径，弧长与圆锥的底面圆，母线，高之间的关系答案：A 11.考点：垂直试题解析：取的中点，的中点，连接，则平面，设在平面中的射影为，过与平面平行的平面为，所以能使与垂直的点所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形的周长相等，因为正方体的棱长为1，所以矩形的周长为答案： 12.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：由三视图和直观图知，ABC是等腰直角三角形，且，其面积是；PAC和PBC是全等的直角三角形，且其面积是，PAB中，, ，其面积是，所以该三棱锥的表面积是=.答案： 13.考点：空间几何体的三视图与直观图空间几何体的表面积与体积试题解析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为答案： 14.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.答案： 15.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：盆中水平圆的半径为r，则有，所以，盆水体积为，故平均降雨量为。答案：316.考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题平行试题解析：（一）解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P。证明如下：取AB的中点F连接DP，PF，EF，则FP/AC,FP=AC。取AC的中点M，连接EM，EC。AE=AC且EAC=，EAC是正三角形。EMAC。四边形EMCD为矩形。ED=MC=AC=FP。又ED/AC。ED/FP且ED=FP，即四边形EFPD是平行四边形。DP/EF。而EF平面EAB,DP平面EAB，DP/平面EAB。（2）过点B作AC的平行线，过点C作的垂线交点G，连接DG。ED/AC，ED/。是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱。平面EACD平面ABC,DCAC，DCABC。又平面ABC,DC.平面DGC.DG.DGC是所求二面角的平面角的余角。设AB=AC=AE=，则CD=GD=cos=cosDGC=即平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值为（二）解：设AB=a，取AC中点O，BC中点F，连EO、OF。，又EAC=又面ABC面ACDE即EO面ACDE建立以OF、OC、OE为空间坐标系的轴。假设存在点P，且又面EAB的法向量令即即P为BC的中点设面EBD的法向量为，面ACDE的法向量为，。答案：（1）见解析；（2） 17.考点：立体几何点线面的位置关系的判定立体几何综合立体几何空间向量空间的角试题解析：（）证明：取PD的中点G，连接FG，AG，因为F，G分别是PC，PD的中点，所以FG是PCD的中位线，所以FGCD，且。又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，所以，且AECD所以AEFG，且AE=FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EFAG又平面PAD，平面PAD，所以EF平面PAD（）证明： 因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以，又因为为正方形，所以，所以两两垂直。以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系（如图）。由题意易知，设，则，,。因为，且，所以，又因为，相交于，所以平面（）易得，设平面的法向量为，则所以 即令，则，由（）可知平面的法向量是，所以 ，由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为答案：（）见解析（）见解析（） 18.考点：立体几何综合试题解析：（I）如图，连结AC，由AB=4，BC=3，ABC=90，得AC=5。又AD=5，E是CD的中点，所以CDAE，因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，而PE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE。（II）过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由（）CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE。由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角。由题意PBA=BPF，因为sinPBA=，sinBPF=，所以PA=BF。由DAB=ABC=90知，ADBC，又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形。故GD=BC=3，于是AG=2。在RtBAG中，AB=4，AG=2，BGAF，所以，于是。又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥P-ABCD的体积为。答案：（I）见解析（II）19.考点：立体几何综合试题解析：证明：ABCD是直四棱柱，又，BCDC，于是ABCD是长方体，进而AB平面AD，即D，又AD是正方形，则D，有，易知，在中，=，于是有= ，故 设A到平面的距离为d，由于 . 作，垂足为H，连接，则DH就是二面角的平面角，即DH，在RtRtEBC中，于是有，法二（向量法）建立如图所示空间直角坐标系O，即，A，E且0b2，C，则，于是，则，设为平面的法向量，则有令 又，设A到平面的距离为d，由公式得：d. 根据图知为平面DEC的一个法向量，为平面的法向量，此时令于是coscos= BE=2答案：见解析 20.考点：立体几何综合试题解析：解：（）因为平面，平面，所以因为，所以平面又平面，所以因为，为的中点，所以又，所以平面（）如图，在平面内，作，则两两互