北师大版选修11 全称量词与存在量词 课件（32张）.ppt

3全称量词与存在量词 第一章常用逻辑用语 1 通过生活和数学中的实例 理解全称量词和存在量词的意义 2 掌握全称命题和特称命题的定义 3 能判定全称命题和特称命题的真假 4 能正确的对含有一个量词的命题进行否定 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一全称量词和全称命题 1 全称量词 所有 每一个 任何 任意一条 一切 都是在指定范围内 表示整体或全部的含义 这样的词叫作 所有 每一个 任何 任意一条 2 全称命题 含有全称量词的命题叫作全称命题 答案 全称量词 知识点二存在量词和特称命题 1 有些 至少有一个 有一个 存在 都有表示个别或一部分的含义 这样的词叫作 2 特称命题 含有存在量词的命题叫作 知识点三全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是命题 特称命题的否定是命题 答案 存在量词 特称命题 特称 全称 思考 1 用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗 2 对省略量词的命题怎样否定 返回 答案 答案不惟一 如 所有的菱形都是平行四边形 它的否定是 并不是所有的菱形都是平行四边形 也可以是 有些菱形不是平行四边形 答案对于含有一个量词的命题 容易知道它是全称命题或特称命题 一般地 省略了量词的命题是全称命题 可加上 所有的 或 对任意 它的否定是特称命题 反之 亦然 题型探究重点突破 题型一全称量词与特称命题的真假判断例1判断下列命题是全称命题还是特称命题 并判断其真假 1 存在x r 使x2 2x 2 0 解析答案 2 所有的三角形中 两边之和大于第三边 解特称命题 因为x2 2x 2 x 1 2 1 1 0 即x2 2x 2 0 所以为假命题 解全称命题 因为三角形中 任意两边之和大于第三边 所以为真命题 3 至少有一个实数t 使得sin x t sinx 解析答案 反思与感悟 4 对任意的实数x1 x2 若x1 x2 则tanx1 tanx2 解特称命题 当t 2 时 sin x 2 sinx 故为真命题 解全称命题 取x1 0 x2 有x1 x2 但tan0 tan 0 所以为假命题 1 要判定全称命题是真命题 需要判断所有的情况都成立 如果有一种情况不成立 那么这个全称命题就是假命题 2 要判定特称命题是真命题 只需找到一种情况成立即可 如果找不到使命题成立的特例 那么这个特称命题是假命题 反思与感悟 跟踪训练1判断下列命题的真假 1 所有的素数都是奇数 2 任意x r x2 1 1 3 对每一个无理数x x2也是无理数 解析答案 解2是素数 但2不是奇数 所以全称命题 所有的素数都是奇数 是假命题 解任意x r 总有x2 0 因而x2 1 1 所以全称命题 任意x r x2 1 1 是真命题 解2是无理数 但 2 2 2是有理数 所以全称命题 对每一个无理数x x2也是无理数 是假命题 4 存在x r 使x2 2x 3 0 5 存在两个相交平面垂直于同一条直线 解析答案 解由于任意x r x2 2x 3 x 1 2 2 2 因此使x2 2x 3 0的实数x不存在 所以特称命题 存在x r 使x2 2x 3 0 为假命题 解由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的 因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线 所以特称命题 存在两个相交平面垂直于同一条直线 为假命题 题型二含有一个量词的命题的否定例2判断下列命题是全称命题还是特称命题 并写出它们的否定 1 p 对任意的x r x2 x 1 0都成立 解析答案 解由于命题中含有全称量词 任意的 因而是全称命题 又由于 任意的 的否定为 存在一个 因此 p的否定 存在一个x r 使x2 x 1 0成立 解由于命题中含有存在量词 存在一个 因而是特称命题 又由于 存在一个 的否定为 任意一个 因此 p的否定 对任意x r 都有x2 2x 5 0 2 p 存在x r x2 2x 5 0 3 p x r 则方程x2 2x 1 0有解 解析答案 反思与感悟 解由于x r表示x是任意实数 即命题中含有全称量词 任意 因而是全称命题 p的否定 存在x r 使方程x2 2x 1 0无解 反思与感悟全称命题的否定是一个特称命题 特称命题的否定是一个全称命题 因此在书写它们的否定时 相应的全称量词变为存在量词 存在量词变为全称量词 同时否定结论 解析答案 跟踪训练2写出下列特称命题的否定 并判断其否定的真假 1 有些实数的绝对值是正数 2 某些平行四边形是菱形 3 存在x0 r x0 1 0 2 解命题的否定是 不存在一个实数 它的绝对值是正数 即 所有实数的绝对值都不是正数 因为 2 2 所以命题的否定是假命题 解命题的否定是 没有一个平行四边形是菱形 即 每一个平行四边形都不是菱形 因为菱形是平行四边形 所以命题的否定是假命题 解命题的否定是 不存在x0 r x0 10 所以命题的否定是真命题 2 解析答案 题型三全称命题 特称命题的综合应用例3 1 若命题p 存在x0 r 使ax0 2x0 a 0 求实数a的取值范围 2 只要a 1 a的取值范围是 1 2 若不等式 m 1 x2 m 1 x 3 m 1 0对任意实数x恒成立 求实数m的取值范围 解析答案 反思与感悟 解 当m 1 0即m 1时 2x 6 0不恒成立 当m 1 0 则 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用 注意二者的区别 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 1 已知关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 求实数a的取值范围 解关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 2a 1 2 4 a2 2 0 即4a 7 0 解得a 74 实数a的取值范围为 74 解析答案 2 若命题p 1 sin2x sinx cosx是真命题 求实数x的取值范围 即 sinx cosx sinx cosx sinx cosx 解析答案 恒成立问题 一题多解 例4不等式x2 2mx 1 0对一切1 x 3都成立 求m的取值范围 名师点评 返回 解方法一 4m2 4 0恒成立 设其两根为x1 x2 且x10 x x x2或x x1 方程x2 2mx 1 0的两根x1 x2都大于3或小于1 x1x2 1 0 两根都小于1 解得m 0 m的取值范围为 m m 0 解析答案 名师点评 方法二 1 x 3 x2 2mx 1 0 当x 1 3 时 名师点评 名师点评 一元二次不等式在某区间的恒成立问题 一般来说 常有以下两条途径 如方法一 转化为方程根的分布问题 如方法二 通过分离参数 转化为求函数最值的问题 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 下列命题中 既是真命题又是特称命题的是 a 存在一个 0 使tan 90 0 tan 0b 存在实数x0 使sinx0 2c 对一切 sin 180 sin d 对一切 sin sin cos cos sin 解析含有存在量词的命题只有a b 而sinx0 1 所以sinx0 2不成立 故选a a 解析答案 1 2 3 4 5 2 命题p 存在实数m 使方程x2 mx 1 0有实数根 则 綈p 形式的命题是 a 存在实数m 使方程x2 mx 1 0无实数根b 不存在实数m 使方程x2 mx 1 0无实数根c 对任意的实数m 方程x2 mx 1 0无实数根d 至多有一个实数m 使方程x2 mx 1 0有实数根 解析命题p是特称命题 其否定形式为全称命题 即綈p 对任意的实数m 方程x2 mx 1 0无实数根 c 解析答案 1 2 3 4 5 3 对下列命题的否定说法错误的是 a p 能被2整除的数是偶数 綈p 存在一个能被2整除的数不是偶数b p 有些矩形是正方形 綈p 所有的矩形都不是正方形c p 有的三角形为正三角形 綈p 所有的三角形不都是正三角形d p 存在n n 2n 100 綈p 任意n n 2n 100 c 解析 有的三角形为正三角形 为特称命题 其否定为全称命题 所有的三角形都不是正三角形 故选项c错误 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 命题 任意x 0 x3 x 0 的否定是 a 任意x 0 x3 x 0b 任意x 0 x3 x 0c 存在x0 0 x0 x0 0d 存在x0 0 x0 x0 0 3 3 解析全称命题的否定是特称命题 c 1 2 3 4 5 解析答案 5 命题 零向量与任意向量共线 的否定为 解析命题 零向量与任意向量共线 即 任意向量与零向量共线 是全称命题 其否定为特称命题 有的向量与零向量不共线 有的向量与零向量不共线 课堂小结 1 判断全称命题 特称命题的真假 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每个元素x验证p x 成立 但要判定全称命题是假命题 却只要能举出集合m中的一个x 使得p x 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 2 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合m中 能找到一个x 使p x 成立即可 否则 这一特称