北师大版必修五 解三角形 习题课 学案.doc

学习目标1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题知识点一有关三角形的隐含条件思考我们知道ysin x在区间(0，)上不单调，所以由0得不到sin sin .那么由a，b为abc的内角且ab，能得到sin asin b吗？为什么？答案能由于三角形中大边对大角，当ab时，有ab.由正弦定理，得2rsin a2rsin b，从而有sin asin b.梳理“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由abc180可得sin(ab)sin_c，cos(ab)cos_c，tan(ab)tan_c，sincos，cossin.(2)由三角形的几何性质可得acos cccos ab，bcos cccos ba，acos bbcos ac.(3)由大边对大角可得sin asin bab.(4)由锐角abc可得sin acos b.知识点二解三角形的基本类型完成下表：已知条件适用定理解的个数三边余弦定理1两边及其夹角余弦定理1两边及一边对角正弦定理或余弦定理0,1,2一边及两角正弦定理1知识点三三角形有关问题的解决思路这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等类型一利用正弦、余弦定理解三角形例1在abc中，若ccos bbcos c，cos a，求sin b的值解由ccos bbcos c，结合正弦定理，得sin ccos bsin bcos c，故sin(bc)0，0b，0c，bc，bc0，bc，故bc.cos a，由余弦定理，得3a22b2，再由余弦定理，得cos b，故sin b.引申探究1对于例1中的条件，ccos bbcos c，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得cb.化简得a2c2b2a2b2c2，c2b2，从而cb.2例1中的条件ccos bbcos c的几何意义是什么？解如图，作adbc，垂足为d.则ccos bbd，bcos ccd.ccos bbcos c的几何意义为边ab，ac在bc边上的射影相等反思与感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段；(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式跟踪训练1在abc中，已知b2ac，a2c2acbc.(1)求a的大小；(2)求的值解(1)由题意知，b2accos a，a(0，)，a.(2)由b2ac，得，sin bsin bsin a.类型二正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例2在abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，4sin2 cos 2a.(1)求a的度数；(2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2 cos 2a及abc180，得21cos(bc)2cos2 a1，4(1cos a)4cos2 a5，即4cos2a4cos a10，(2cos a1)20，解得cos a.0a180，a60.(2)由余弦定理，得cos a.cos a，化简并整理，得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.则由解得或反思与感悟(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用跟踪训练2在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，a2c2b2ac.求2sin2sin 2b的值解由已知得，所以cos b，sin b，所以2sin2sin 2b2cos2sin 2b1cos b2sin bcos b12.类型三正弦、余弦定理与平面向量的综合应用例3在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，cos b，a7且21.求角c.解21，21.|cos baccos b21.ac35，又a7，c5.cos b，sin b.由余弦定理，得b2a2c22accos b32，b4.由正弦定理，得，sin csin b.cb且b为锐角，c一定是锐角c45.反思与感悟利用向量的有关知识，把问题化归为三角形的边角关系，再结合正弦、余弦定理解三角形跟踪训练3已知abc的三内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m(ab，sin c)，n(ac，sin bsin a)，若mn，则角b的大小为_答案150解析mn，(ab)(sin bsin a)sin c(ac)0，由正弦定理，得(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cos b，又0b180，b150.1在锐角abc中，角a，b所对的边分别为a，b，若2asin bb，则角a等于()a. b. c. d.答案d解析在abc中，利用正弦定理，得2sin asin bsin b，b(0，)，sin b0，sin a.又a为锐角，a.2在abc中，ab3，ac2，bc，则_.答案解析由余弦定理，得cos a.|cos a32.3已知abc中，ax，b2，b45，若这个三角形有两解，则x的取值范围是_答案(2,2)解析如图，点c到ab的距离为cd，cdx，若三角形有两解，必须满足cd2x，即x2x2x2.1对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变换方法、代数恒等变换方法等进行转化、化简，从而得出结论2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解40分钟课时作业一、选择题1在钝角abc中，a1，b2，则最大边c的取值范围是()a(1,3) b(2,3) c(，3) d(2，3)答案c解析由cos ca2b25.c，又cab3，c3.2在abc中，ab，a45，c75，则bc等于()a3 b. c2 d3答案a解析ab，a45，c75，由正弦定理，得，解得bc3.3设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定答案b解析由bcos cccos basin a，得sin bcos csin ccos bsin2a，即sin(bc)sin asin2a，因为0ab，则b的值为()a. b. c. d.答案a解析由条件得sin bcos csin bcos a，由正弦定理，得sin acos csin ccos a，sin(ac)，从而sin b，又ab且b(0，)，因此b.7在abc中，abc，ab，bc3，则sin bac等于()a. b. c. d.答案c解析在abc中，由余弦定理，得ac2ba2bc22babccosabc()23223cos 5.ac，由正弦定理，得sinbac.二、填空题8已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是_答案(，)解析x应满足解得x.9在abc中，已知a、b、c分别为内角a、b、c的对边，若b2a，ba60，则a_.答案30解析b2a，sin b2sin a，又ba60，sin(a60)2sin a，即sin acos 60cos asin 602sin a，化简得sin acos a，tan a，又0a180，a30.10在abc中，若lg alg clg sin alg ，并且a为锐角，则abc的形状为_三角形答案等腰直角解析lg alg clg sin alg ，sin a，a为锐角，a45，sin csin asin 451，又0c180，c90，b45，abc为等腰直角三角形三、解答题11.如图，在abc中，d是边ac上的点且abad,2abbd，bc2bd，求sin c的值解设aba，则ada，bd，bc2bd，cos a，a(0，)，sin a.由正弦定理，得sin csin a.12在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知sin asin