北师大版选修45 一般形式的柯西不等式 学案.docx

一般形式的柯西不等式学习目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.一、预习要点1.三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3r，则(aaa)(bbb)_.当且仅当b1b2b30或存在一个数k，使得_时，等号成立2一般形式的柯西不等式定理：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)_.当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得_(i1,2，n)时，等号成立. 二、预习检测1已知x3y5z6，则x2y2z2的最小值为 ()a. b. c. d62已知x，y，zr，且xyz1，则的最小值为()a24 b30 c36 d483设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值是_4设a，b，c为正数，则(abc)()的最小值为_5若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的取值范围是()a(，2) b2,2c(，2d1,1三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。探究案一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究1.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对不等式等号成立的条件加深理解2一般形式的柯西不等式定理称为柯西不等式的一般形式，它主要用来证明不等式和解决一些实际应用的最值问题在使用柯西不等式时需要掌握一些方法技巧，如：巧拆常数，重新安排某些项的次序，适当的拼凑项、添项等，以构造出符合柯西不等式的形式及条件，达到使用柯西不等式证明的目的对于许多不等式问题，应用柯西不等式来解往往简单快捷，要正确理解柯西不等式，只有掌握了它的结构特征，才能灵活应用.探究1如何理解柯西不等式的结构特征？探究2在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？【例1】已知a，b，cr，求证：9.【变式训练1】已知x，y，zr，且xyz1.求证：36.【例2】设a，b，c为正实数，且abc3，求证：3.【变式训练2】已知a，b，cr，且abc1，求的最大值【例3】已知x1，x2，x3，x4为实数，且x1x2x3x46，xxxx12.求证：0xi3，i1,2,3,4.【变式训练3】设实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，求e的最大值【例4】已知a1，a2，an都是正实数，且a1a2an1，求证：.【变式训练4】设a1a2anan1，求证：0.三、随堂检测1已知a，b，c大于0，且abc1，则a2b2c2的最小值为()a1 b4c.d2若a，b，cr，且abc1，则的最大值为()a3 b3c18d93.已知函数f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cr，且m，求证：a2b3c9.4.已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值5.已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的范围四、课后作业1设a，b，cr，且abc3，则的最小值为()a9b3c.d12已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值 ()a1 bn c. d23已知a，b，c为正数，则有()a最大值9 b最小值9c最大值3 d最小值34已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_5设a，br，则与的大小关系是_6已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值7设a1a2anan1，求证：0.8设xyz1，求函数u2x23y2z2的最小值参考答案一、预习要点答案1.(a1b1a2b2a3b3)2a1kb1，a2kb2，a3kb32.(a1b1a2b2anbn)2aikbi二、预习检测1.答案c2.解析利用柯西不等式，(xyz)236，36，当且仅当x2y2z2，即x，y，z时等号成立答案c3.解析(abc)()2()2()2222218.2.4.【解析】由a，b，c为正数，(abc)()()2()2()2()2()2()25.【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，当且仅当aibi(i1,2，n)时，右边等号成立；当且仅当aibi(i1,2，n)时，左边等号成立，故选b.【答案】b二、合作探究探究1【提示】归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不等式的结构特征，可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积，右边是积的和的平方探究2【提示】不可以若bi0而ai0，则k不存在【例1】【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时，关键是构造两组数，向着柯西不等式的形式转化本例中对应三维柯西不等式，记a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得证【证明】由柯西不等式知左边2(111)29.原不等式成立【变式训练1】证明证法一：(利用基本不等式)(xyz)(xyz)(xyz)1414461236.当且仅当y2x，z3x，且xyz1，x，y，z时等号成立证法二：(利用柯西不等式)(xyz)2(123)236，当且仅当x2y2z2，即x，y，z时等号成立【例2】【分析】利用柯西不等式的向量形式，目标式的左边应是两个向量的数量积由于变量a，b，c的系数都相等，由整体性可构造向量m(，)，n(1,1,1)利用|mn|1.即(a1an1)1，所以，故0.三、随堂检测1【解析】根据柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，a2b2c2.【答案】c2.【解析】由柯西不等式得：()2(111)(3a13b13c1)33(abc)3，又abc1，()23618，3，当且仅当abc时等号成立故选b.【答案】b3.【解】(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cr，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()()29.4.【解】由柯西不等式，知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4y9z1，x2y2z2，(*)当且仅当x时，等号成立x，y，z时，(*)取等号因此，x2y2z2的最小值为.5.【解】由abcd3，得bcd3a由a22b23c26d25，得2b23c26d25a2，(2b23c26d2)()(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2.所以实数a的取值范围是1,2四、课后作业1解析()2()2()22即(abc)32.又abc3，3，最小值为3.答案b2.解析由柯西不等式(aaa)(xxx)(a1x1a2x2anxn)2得11(a1x1a2x2anxn)2，a1x1a2x2anxn1.所求的最大值为1.答案a3.解析29.答案b4.解析4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee2.5e216e0，故0e.答案5.解析(11).答案6.解由柯西不等式得，有(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得，1a2当且仅当时等号成立，代入b，c，d时，amax2.b1，c，d时，amin1.7.证明a1an1(