期末解答题精选答案.doc

1已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P 由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，平方后再整理，得 可以验证，这就是动点M的轨迹方程（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）由于A（2，0），且为线段AM的中点，所以 ， 所以有， 由（1）题知，M是圆上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：将代入整理，得所以N轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆2.设点A、B的坐标分别为，（5,0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以，直线AM的斜率（-5）；同理直线BM的斜率（5）.由已知有（5），-11分化简，得M的轨迹方程为 （5）. -123 如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，ABCDPE，平面， （1）求证：平面（2）求证：平面（3）求二面角的平面角的正弦值（1）证明：，且 平面，平面 平面. 3分（2）证明：在直角梯形中，过作于点， 则四边形为矩形 ，又， ，在Rt中， ， 则， 6分 又 7分，PA和AC在平面内，平面 8分ABCDP （3）解：如图，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：， 9分，设m为平面的一个法向量，则，即，设，则，m，10分同理设n为平面的一个法向量，求得n 11分， 14分4、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点.（）证明：； （）求异面直线与所成角的大小； （）求点到平面的距离.解：如图，作于点P, 分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,(1)证明：设平面OCD的法向量为,则即 取,解得即 又(2)解 设与所成的角为, ，即与所成角的大小为.(3)解 设点B到平面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值,由 , 得，即点B到平面OCD的距离为5 如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点（）求证：ACBC1；（）求二面角的平面角的正切值（）证明：直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ACBC， 又 AC，且 AC平面BCC1 ，又平面BCC1 ACBC1 6分（）解法一：取中点，过作于，连接 7分是中点， ，又平面平面，又平面，平面 又且平面，平面 9分 又是二面角的平面角 11分AC3，BC4，AA14，在中， 二面角的正切值为 14分解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系AC3，BC4，AA14， ， 平面的法向量， 设平面的法向量，则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小 10分则由 令，则， ，则13分二面角是锐二面角二面角的正切值为 14分6.(本小题满分13分)已知圆经过点和,且圆心在直线上.() 求圆的方程； （）若直线被圆所截得的弦长为,求实数的值.解:()解法一:设圆心,因为,所以,解得4分所以圆心,半径 6分所以圆的方程为 7分解法二:设圆的方程为, 2分依题意得,5分 解得,所以圆的方程为 7分解法三:依题意易得线段的中垂线方程为,2分联立方程组,解得,所以圆心,5分 下同解法一.（）因为直线被圆所截得的弦长为,所以圆心到直线的距离 10分，解得 13分7如图，在平行四边形中，将它们沿对角线折起，折后的点变为，且（1）求点到平面的距离；（2）为线段上的一个动点，当线段的长为多少时,与平面所成的角为？解： 又 AB平面BC1D 依题意，建立空间直角坐标系B-xyz 2分 ，则A(0,0,1),C1 (1, 0),D(0, ,0)设 是平面的一个法向量，解得，令y=1， 4分到平面的距离 6分（2）设，则 又是平面BC1D的一个法向量 8分依题意得 10分有0得，即时，与平面所成的角为12分8.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过、三点（1）求椭圆的方程：（2）若点为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；解：（1）设椭圆方程为将代入椭圆E的方程，得，解得 椭圆的方程 yxOFHABD（2），设的边上的高为， 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6 所以， 当在椭圆上顶点时，最大为，故的最大值为，于是也随之最大值为 此时内切圆圆心的坐标为 9已知顶点在坐标原点，焦点为的抛物线与直线相交于两点，.（1）求抛物线的标准方程；（2）求的值； （3）当抛物线上一动点从点到运动时，求面积的最大值 解：（1）设所求的抛物线方程为，根据题意， 所求的抛物线标准方程为. 2分（2）设A（x1,y1)、B(x2,y2),由得4x2+4(b-1)x+b2=0, 3分=16(b-1)2-16b20. . 5分又由韦达定理有x1+x2=1-b,x1x2=,= 7分即. . 8分10.(本小题满分14分) 已知动圆过定点,且与定直线相切.() 求动圆圆心的轨迹的方程；（） 若轨迹上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧,并且,在轨迹位于、两点间的曲线段上求一点,使到直线的距离最大,并求距离的最大值.解:() 因为动圆过定点,且与定直线相切, 所以圆心到定点的距离与到定直线的距离相等, 2分 由抛物线定义可知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,4分 所以动圆圆心的轨迹的方程为5分（）由已知得,设(其中),由得,所以 7分 同理可得,所以直线的方程为. 9分解法一:设抛物线曲线段上任一点,其中, 则点到直线的距离 12分所以当时,距离取得最大值,此时点的坐标为. 14分.xyOF.A.PB解法二:设与平行的直线的方程为,10分当与抛物线相切时,切点到的距离最大.由方程组消元得(*)由得12分此时(*)式的解为,切点,距离最大值为.14分第19题图BDCAA1B1C1D111.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,.() 求证:平面平面；（）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角的正弦值.解:() 在中,由余弦定理得第19题解法一图BDCAA1B1C1D1M 所以,所以,即 又四边形为平行四边形,所以2分 又底面,底面,所以4分 又,所以平面,5分 又平面,所以平面平面.6分（）由()知平面,所以所以为二面角的平面角, 所以,所以.8分解法一:取的中点,连结,则 又平面平面,平面平面,所以平面 所以为直线与平面所成的角, 10分第19题解法二图BDCAA1B1C1D1xyz 在中,所以, 所以直线与平面所成的角的正弦值为.14分解法二: 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则, 所以,10分 设平面的法向量为,则,即,令,得,12分设直线与平面所成的角为,则, 所以直线与平面所成的角的正弦值为.14分说明:第（）问可不写出点的坐标,而直接通过,得到所需向量.12.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为,离心率. () 求椭圆的方程； （）若、,试探究在椭圆内部是否存在整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得的面积?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)解:() 设椭圆的方程为, 依题意得,又,3分所以, 所以椭圆的方程为.5分xyOPl1l2B.（）依题意,直线的方程为,7分 因为,所以到直线的距离为, 所以点在与直线平行且距离为的直线上,设, 则,解得9分 当时,由,消元得,即又,所以,相应的也是整数,此时满足条件的点有个.12分当时,由对称性,同理也得满足条件的点有个.综上,存在满足条件的点,这样的点有个. 14分13（本题满分12分）解析：（1）设圆的方程是， -1分依题意得，所求圆的半径， -3分所求的圆方程是 -4分（2）圆方程是，当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， -5分即，由圆心到直线的距离， -6分即，解得， -8分直线方程为，即， -9分当斜率不存在时，也符合题意，即所求的直线方程是 -11分所求的直线方程为和 -12分14（本题满分14分）（1）证明：取的中点，连结，则共线，且， -1分B1DABCC1D1(第19题)OE为三棱柱，平面平面，故， -3分为平行四边形，从而 -5分又平面，平面，平面 -7分（2）证明：，则，则，即， -10分又平面，平面，在三棱柱中，则，而，平面， -12分又，得平面，而平面，平面平面 -14分15（本题满分14分）解析：（1）直线的斜率为，由点斜式得直线的方程为，即直线关于直线对称的直线方程方程为 -6分（2）假设存在符合条件的点，因为点到点的距离等于到直线的距离，所有由抛物线的定义可知，点在抛物线上， -8分又点在直线上，由， -10分消去得，解得， -12分则，存在符合条件的点，其坐标分别为或 -14分PABCDEF16（本题满分14分）解析：（1）底面，底面， -2分又，平面 -4分（2）方法一：由（1）知，平面，又平面，平面平面 过点作，连结-6分平面平面，平面平面，平面，平面， -8分为直线和平面所成角的平面角 -10分是边长为的正三角形，又，所以， -13分即直线和平面所成角的正弦值为 -14分方法二：如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图空间直角坐标系-2分在正三角形中， -6分PABCDEFxyz易知， -8分设是平面的一个法向量，则解得，故可取-11分于是-13分由此即知，直线和平面所成角的正弦值为 -14分17（本题满分14分）解析：（1）设，由题意得：椭圆的方程为； -5分（2）点是圆上的动点， -6分设椭圆的左焦点为，依据椭圆的定义知， -7分， 当点是延长线与椭圆的交点时，取得最大值， 的最大值为， -10分此时直线的方程是，点的坐标是方程组的解，消去得， -11分解得，根据图形可知， -13分此时的点坐标为（，） -14分18（本题满分12分）解:因为命题“”为假，所以命题是真命题. 82分又因为命题“”为假，所以命题是假命题. 84分要使对任意不等式恒成立，只需， 86分所以命题是真命题的条件是：. 87分关于的方程有实数根，则只需，即.命题是真命题的条件是：，所以命题是假命题的条件是. 810分综上所述，使命题“”为假，命题“”为假的条件是的取值范围为.12分19（本题满分12分）（）证明：连接，设，连接 1分是三棱柱，侧棱底面.且是正方形，是中点， 又为中点 4分又平面，平面平面 5分（II）在平面中过点作的垂线，交于.由于底面面，且为两平面交线，面. 7分中，所以，且. 8分在中， 9分由于，所以 11分由等积法可得. 12分20（本题满分14分）解: （I）设点的坐标为， 1 分则 ， 3分化简可得即为所求 5分（II）曲线是以点为圆心，为半径的圆，如图则直线是此圆的切线，连接，则 7分当时，取最小值 8分= 10分（公式、结果各一分）yCDBAMEFx(0,a)(-c ,0)(c,0)(x,0)此时的最小值为， 12分这样的直线有两条，设满足条件的两个公共点为，易证四边形是正方形 的方程是或 14分21（本题满分14分）证明：如图，以底边所在的直线为轴，过顶点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系.2分设，(，)则.直线的方程为，即.直线的方程为，即.6分设底边上任意一点，则点到距离为，8分点到距离为， 10分点到距离为. 12分所以.14分22（本题满分14分）证明:（）方法一：正方形，又二面角是直二面角， 平面.平面，. 2分又，是矩形，是的中点，xyGABCDEFz=，=， 又=， 4分平面，而平面，故平面平面5分（坐标法）：如图，以为原点建立直角坐