北师大版选修11 椭圆的简单性质 学案.doc

1.2椭圆的简单性质学习目标重点难点1.根据椭圆的方程能指出椭圆的对称轴、对称中心、范围和顶点；2掌握离心率的概念及其几何意义，能熟练地利用基本量求离心率及利用离心率求基本量，注意灵活地运用数形结合的思想；3学会用代数法研究曲线的几何性质.1.重点：熟练掌握椭圆的几何性质，并能应用解决简单问题；2难点：根据椭圆的几何特征能正确解决与离心率相关的问题.椭圆的几何性质如下表所示：方程1(ab0)1(ab0)图形范围axa，byb_，_对称性关于_轴，_轴和_对称顶点a1_，a2_，b1_，b2_a1_，a2_，b1_，b2_离心率e_(_e_)预习交流1离心率是如何刻画椭圆的形状特征的？预习交流2对于方程不是标准形式(或经过变形也不能化为标准方程的形式)的椭圆是否具有以上相似的性质呢？答案：bxbayaxy原点(a,0)(a,0)(0，b)(0，b)(0，a)(0，a)(b,0)(b,0)01预习交流1：提示：椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的圆扁程度e越接近于1，则c就越接近于a，从而b越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近于0，则c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆特别地，当ab时，c0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2y2a2.预习交流2：提示：仍然具有以上性质，只是数据有所不同如仍是轴对称与中心对称图形，但对称轴与对称中心可能不再是坐标轴与原点；而且离心率也不会随着方程的变化而变化，只是决定于图形的形状在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、根据椭圆方程研究几何性质求椭圆9x216y2144的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并画出椭圆的草图思路分析：首先将方程化为标准形式，得到几何量a，b的值，再利用a，b，c之间的关系求出其他相关的几何性质，并结合椭圆的对称性画出草图1(20112012陕西师大附中期中考试)点(2,3)在椭圆1上，则()a点(2,3)不在椭圆上b点(2，3)不在椭圆上c点(2，3)在椭圆上d无法判断点(2,3)，(2，3)，(2，3)是否在椭圆上2已知两椭圆1与1(0k9)，下列说法正确的是_有相等的长轴；有相等的短轴；有相同的焦点；有相等的焦距求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，从而准确地求出a，b的值，进而求得其他性质若系数中含有参数，往往需分类讨论才能正确写出性质二、根据椭圆的几何性质求方程已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且p到两焦点的距离分别为5,3，过p且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程思路分析：求椭圆的标准方程，首先要根据几何性质判断焦点的位置，本题显然需要分类讨论，为此设出其标准形式，再用待定系数法求解即可1椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆方程为_2已知椭圆经过点a(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点f1，f2在x轴上，离心率e，求椭圆的方程利用性质求椭圆方程时，常用直接法或待定系数法，其步骤是：“先定位，再定量”，即先明确焦点的位置或分类讨论；设出相应的椭圆方程；根据已知条件构造关于a，b或c的方程(组)求解，写出方程三、求椭圆的离心率如图所示，从椭圆1(ab0)上一点p作x轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点f1，此时椭圆与x轴交于点a，与y轴交于点b，所确定的直线ab与op平行，求离心率e的值思路分析：由于a，b是椭圆的两个顶点，故有a(a,0)，b(0，b)，所以直线ab的斜率可求，只要再求出p点的坐标就可以求出直线op的斜率，由于opab，可知二者的斜率相等，可求出a，b，c三者的关系，即可解决本题1已知正方形abcd，则以a，b为焦点，且过c，d两点的椭圆的离心率为_2椭圆1的离心率是2x211x50的根，则k_.离心率最常见的求法是定义法和解方程法，即利用椭圆的定义，或通过列方程求解，但无论哪种方法都离不开图形中固有的几何性质，所以将几何特征转化为a，b，c之间的关系是求解的基本思路答案：活动与探究1：解：将已知方程化为椭圆的标准方程：=1，则a=4，b=3，c=，因此椭圆的长轴和短轴长分别是2a=8，2b=6；离心率是e=；两个焦点分别是f1(-,0)，f2(,0)；四个顶点坐标分别是a1(4,0)，a2(4,0)，b1(0，3)，b2(0,3)其草图如图所示迁移与应用：1c解析：由方程可知此椭圆关于坐标轴与原点成轴对称与中心对称图形，所以点(2,3)关于坐标轴或原点的对称点均在椭圆上2解析：c25916，c14.又c(25k)(9k)16，c24，c1c2.则两椭圆有相等的焦距活动与探究2：解：法1：设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得a4，c2，b212.故所求椭圆的方程为1或1.法2：设所求椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)两个焦点分别为f1，f2.由题意知2a|pf1|pf2|8，a4.在方程1中，令xc得|y|，在方程1中，令yc得|x|，依题意有3，b212.椭圆的方程为1或1.迁移与应用：1.1或1解析：由题意得a6，b4，又焦点不确定，故方程有两个2解：设椭圆的方程为1(ab0)由e，即，得a2c，b2a2c23c2，椭圆方程可化为1.将a(2,3)代入上式，得1，解得c24，椭圆的方程为1.活动与探究3：解：设p点的坐标为(x，y)(y0)，由题意可得xc，代入椭圆的方程可得y，p点的坐标为，kop.又a(a,0)，b(0，b)，kab.opab，kabkop，即，bc，ac，e.迁移与应用：1.1解析：设正方形边长为1，椭圆以a，b为焦点，|ab|12c.又椭圆过c点，|ca|cb|12a，e1.24或解析：解方程2x211x50，得x1，x25(舍去)，e.当k3时，a2k，c2k3，k4；当k3时，a23，c23k，k.1椭圆1的离心率是()abcd2与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是()a1 b1c1 d13. 如图，经过点p1，p2，p3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则() ae3e1e2 be1e2e3ce3e2e1 de2e1e34(2012江西高考，文8)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是a，b，左、右焦点分别是f1，f2.若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为()a b c d25若椭圆的一个焦点将其长轴分成两段，则椭圆的离心率为_答案：1a解析：由方程知a3，b2，c，e.2b解析：椭圆9x24y236的焦点为(0，)，(0，)，b2，a225，故选b.3a解析：椭圆越扁，离心率越大，比较过点p1，p2的椭圆的离心率，得e1e2，比较过点p1，p3的椭圆的离心率，得e3e1，故e3e1e2.4b解析：因为a，b为左，右顶点，f1，f2为左，右焦点，所以|af1|ac，|f1f2|2c，|f1b|