北师大版选修21 空间向量基本定理 学案.doc

3.2空间向量基本定理学习目标重难点1能记住空间向量基本定理及其意义2能说出空间向量的正交分解及其坐标表示3会用一组基底表示向量，能计算一个向量在另一个向量上的投影.重点：空间向量的坐标表示难点：将平面向量的坐标表示推广到空间向量关键：抓住空间向量的坐标表示这一根本.1空间向量的标准正交分解与坐标表示(1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为_上的单位向量，对于空间任意向量a，_一组三元有序实数(x，y，z)，使得a_.我们把axiyjzk叫作a的_，把i，j，k叫作_(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作_a(x，y，z)叫作向量a的_在空间直角坐标系中，点p的坐标为(x，y，z)，向量的坐标也是_预习交流1议一议：空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？2向量a在向量b上的投影一般地，若b0为b的单位向量，称ab0|a|cos a，b为向量a在向量b上的投影可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影预习交流2做一做：求证向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影3空间向量基本定理(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底a1e12e23e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解(2)特别地，当向量e1，e2，e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解当e1i，e2j，e3k时，就是标准正交分解预习交流3证一证：求证：满足a1e12e23e3中的1，2，3是唯一的答案：1(1)x轴，y轴，z轴正方向存在唯一xiyjzk标准正交分解标准正交基(2)a(x，y，z)坐标表示(x，y，z)预习交流1：提示：在空间直角坐标系中，过空间点m向平面xoy引垂线，有且只有一条，设垂足为n，而n在xoy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的即在空间直角坐标系o xyz中，对空间任一点m，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使xiyjzk，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标预习交流2：提示：设axiyjzk，aixiiyjizki，由于ij，ki，ij0，ki0，又|i|2ii1，aix，同理ajy，akz.预习交流3：提示：设a1e12e23e3，又a1e12e23e3，1e12e23e31e12e23e3，(11)e1(22)e2(33)e30，又e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，11，22，33，即1，2，3是唯一的在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1建立空间直角坐标系，求点的坐标和向量的坐标表示如图所示空间直角坐标系，在长方体abcd abcd中，ab3，ad4，aa6.(1)写出c点的坐标，给出关于i，j，k的分解式；(2)求的坐标思路分析：c点的坐标的确定方法：过c点作平面xoy的垂线，垂足为c，过c点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为d，b点，则x|cb|，y|dc|，z|cc|.所以c(x，y，z)在正方体abcd a1b1c1d1中，m是棱dd1的中点，o为正方体a1c的中心，且为坐标原点，正方体的棱长为1.试求向量和的坐标只有把向量标准正交分解后，才可用坐标表示，反之，只要向量用坐标表示，就说明它已经在标准正交分解的基底上进行了分解2向量的投影的求法如图所示，已知单位正方体abcd abcd，(1)求向量在上的投影；(2)求向量在上的投影如图，在长方体abcd a1b1c1d1中，ab4，ada1a2，求向量在上的投影求向量a在向量b上的投影，首先计算出向量a的模|a|，再求出两个向量a和b的夹角(或夹角的余弦值)，最后计算出a在b上的投影|a|cos a，b由于两向量的夹角在0，内，故|a|cos a，b可以是正值，零或负值当在标准正交基底下分解时，在i，j，k上的投影分别是向量坐标表示的横坐标，纵坐标，竖坐标3空间向量基本定理的应用如图，空间四边形oabc中，g，h分别是abc，obc的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量和.思路分析：要用向量a，b，c表示向量，就要找到一组有序实数x，y，z，使xaybzc，这主要用向量的加法和减法的性质，由向量o入手，看一看向量o可以由哪些向量的和或差得到1已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，且ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3 a b c，则2_.2o，a，b，c为空间四边形的四个顶点，点m，n分别是边oa，bc的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量为()a.(cba)b.(abc)c.(abc)d.(abc)对于基底e1，e2，e3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)由于0可视为与任一非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量，二者是相关联的不同概念；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了答案：活动与探究1：解：(1)因为ab3，ad4，aa6，所以c点的坐标为(4,3,6)所以(4,3,6)4i3j6k.(2)因为点d的坐标为(4,0,6)，所以(4,0,6)迁移与应用1：解：以o为坐标原点，建立如图所示的坐标系正方体的棱长为1，m点的坐标为.又a1点坐标为，.活动与探究2：解：(1)在上的投影是|cos acd|1.(2)在上的投影是|cos (acd)|1.迁移与应用2：解：长方体abcda1b1c1d1中，ada1a2，ad12.又c1d1平面add1a1，c1d1ad1.向量在上的投影为|cos c1ad1ad12.活动与探究3：解：因为，而，又因为d是bc的中点，所以()所以()()()(abc)而，又因为()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.迁移与应用3：1.0解析：ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3 a b c，e12e23e3()e1()e2()e3，解得20.2a解析：()()(bca)1已知平行六面体oabc oabc中，a，b，c.d是四边形oabc的中心，则()a.abcb.bacc.abcd.acb2点m(1,3，4)在坐标平面xoy，xoz，yoz内的投影的坐标分别是()a(1,3,0)，(1,0，4)，(0,3，4)b(0,3，4)，(1,0，4)，(0,3，4)c(1,3,0)，(1,3，4)，(0,3，4)d(0,0,0)，(1,0,0)，(0,3,0)3. 如图，已知正方体abcd abcd中，e是面abcd的中心，a，b，c，xaybzc，则()ax2，y1，zbx2，y，zcx，y，z1dx，y，z4已知长方体abcda1b1c1d1中，3i，2j，5k，则_.5已知向量a，b，c是空间的一个基底，从以下各向量a，b，c，ab，ab，ac，ac，bc，bc中选出三个向量，构成空间向量的基底，请你写出三个基底答案：1b解析：b()bac.2a解析：点m(1,3，4)在坐标平面xoy，xoz，yoz内的投影就是过m点分别