北师大版选修23 2. 5 第一课时 离散型随机变量的均值 学案.doc

第一课时离散型随机变量的均值 求离散型随机变量的均值例1(重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与数学期望ex.思路点拨(1)利用古典概型结合计数原理直接求解(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值精解详析设ai表示摸到i个红球，bj表示摸到j个蓝球，则ai(i0,1,2,3)与bj(j0,1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为p(a1).(2)x的所有可能值为0,10,50,200，且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1)，p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0)，p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1)，p(x0)1.综上知，x的分布列为x01050200p从而有ex010502004(元)一点通求离散型随机变量x的均值的步骤(1)理解x的意义，写出x可能取的全部值；(2)求x取每个值的概率；(3)写出x的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式exx1p1x2p2xnpn，求出均值1(广东高考)已知离散型随机变量x的分布列为x123p则x的数学期望ex()a.b2c. d3解析：ex123.答案：a2某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：血型ababo人数8732(1)现从这20人中随机选出两人，求两人血型相同的概率；(2)现有a血型的病人需要输血，从血型为a、o的同学中随机选出2人准备献血，记选出a血型的人数为x，求随机变量x的数学期望ex.解：(1)从20人中选出两人的方法数为c190，选出两人同血型的方法数为cccc53，故两人血型相同的概率是.(2)x的取值为0,1,2，p(x0)，p(x1)，p(x2).x的分布列为x012pex012.二项分布及超几何分布的均值例2甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为x，乙击中目标的次数为y，求(1)x的概率分布；(2)x和y的数学期望思路点拨甲、乙击中目标的次数均服从二项分布精解详析(1)p(x0)c3，p(x1)c3，p(x2)c3，p(x3)c3.所以x的概率分布如下表：x0123p(2)由题意xb，yb，ex31.5，ey32.一点通如果随机变量x服从二项分布即xb(n，p)，则exnp；如果随机变量x服从参数为n，m，n的超几何分布时，则exn，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程3若随机变量xb，ex2，则p(x1)等于_解析：由xbexn2，n4，p(x1)c13.答案：4袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以x表示取出的红球数，则ex为_解析：由题意知随机变量x服从n7，m4，n3的超几何分布，则ex3.答案：5(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量x为取出此3球所得分数之和(1)求x的分布列；(2)求x的数学期望ex.解：(1)由题意得x取3,4,5,6，且p(x3)，p(x4)，p(x5)，p(x6).所以x的分布列为x3456p(2)由(1)知ex3p(x3)4p(x4)5p(x5)6p(x6).数学期望的实际应用例3某商场准备在“五一”期间举行促销活动根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？思路点拨(1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解精解详析(1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件a，则p(a)1.即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为x，则x0,1,2,3，于是p(x0)，p(x1)c2，p(x2)c2，p(x3)，顾客中奖的数学期望ex01231.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x180，解得x120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本(12分)一点通处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值6(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品a，乙组研发新产品b，设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品a研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品b研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望解：记e甲组研发新产品成功，f乙组研发新产品成功由题设知p(e)，p()，p(f)，p().且事件e与f，e与，与f，与都相互独立(1)记h至少有一种新产品研发成功，则 ，于是p()p()p()，故所求的概率为p(h)1p()1.(2)设企业可获利润为x(万元)，则x的可能取值为0,100,120,220.因p(x0)p( )，p(x100)p(f)，p(x120)p(e)，p(x220)p(ef).故所求的x分布列为x0100120220p数学期望为e(x)0100120220140.7某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值)解：不采取预防措施时，总费用即损失期望值为e14000.3120(万元)；若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.90.1，损失期望值为e24000.140(万元)，所以总费用为454085(万元)；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.850.15，损失期望值为e34000.1560(万元)，所以总费用为306090(万元)；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为453075(万元)，发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.015，损失期望值为e44000.0156(万元)，所以总费用为75681(万元)综合，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少1求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值(2)计算随机变量取每一个值对应的概率(3)写出分布列，求出数学期望2离散型随机变量均值的性质ecc(c为常数)；e(axb)aexb(a，b为常数)；e(ax1bx2)aex1bex2(a，b为常数) 1一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数x的均值为()a0.8b0.83c3 d2.4解析：射手独立射击3次中靶次数x服从二项分布，即xb(3,0.8)，ex30.82.4.答案：d2已知离散型随机变量x的概率分布如下：x012p0.33k4k随机变量y2x1，则y的数学期望为()a1.1 b3.2c11k d33k1解析：由题意知，0.33k4k1，k0.1.ex00.310.320.41.1，eye(2x1)2ex12.213.2.答案：b3口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以x表示取出的球的最大号码，则ex()a4 b5c4.5 d4.75解析：x的取值为5,4,3.p(x5)，p(x4)，p(x3).ex5434.5.答案：c4(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为x，则x的均值ex()a. b.c. d.解析：由题意知x可能为0,1,2,3，p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，ex0p(x0)1p(x1)2p(x2)3p(x3)0123，故选b.答案：b5设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为_解析：设查得次品数为x，由题意知x服从超几何分布且n10，m3，n2.exn2.答案：6某射手射击所得环数x的分布列如下x78910px0.10.3y已知ex8.9，则y的值为_解析：由解得y0.4.答案：0.47某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有a，b两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为a级时，产品为一等品，其余均为二等品表一 工序概率产品第一道工序第二道工序甲0.80.85乙0.750.8表二 等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为a级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率p甲、p乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用x，y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值解：(1)p甲0.80.850.68，p乙0.750.80.6.(2)随机变量x，y的分布列是x52.5p0.680.32y2.51.5p0.60.4ex50.682.50.324.2，ey2.50.61.50.42.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元8(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求乙队得分x的分布列及数学期望解：(1)记“甲队以30胜利”为事件a1，“甲队以31胜利”为事件a2，“甲队以32胜利”为事件a3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故p(