第3章321知能优化训练.doc

1下列各式正确的是_(sin)cos(为常数)；(cosx)sinx；(sinx)cosx；(x5)x6.解析：为常数，则sin为常数，(sin)0，故错；(cosx)sinx，故错；(sinx)cosx，故对；(x5)5x6，故错答案：2函数ycosx在x处切线的斜率为_解析：y|xsin.答案：3质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为_解析：st，当t4时，s.答案：4若曲线yxn(nN*)在x2处切线的斜率为12，则n_.解析：ynxn1，y|x2n2n112，n3.答案：3一、填空题1已知f(x)x，若f(1)4，则_.解析：f(x)x1，f(1)(1)14，4.答案：42已知f(x)x2，g(x)x3，若f(x)g(x)2，则x_.解析：f(x)2x，g(x)3x2，于是有2x3x22，解得x.答案：3已知函数f(x)x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有_条解析：设切点为(x0，x)，y3x2，3x1，x0，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条答案：两4曲线yx2上过点(2,4)的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_解析：y2x，y|x24，过点(2,4)的切线方程为y44(x2)，即4xy40，令y0得切线在x轴上的截距为1，故所求面积为S(21)42.答案：25曲线yx3在点P处的切线斜率为k，当k3时，点P的坐标为_解析：设切点为(x0，x)，y|xx03x3，x01.答案：(1,1)或(1，1)6下列四个命题中，正确命题的个数为_若f(x)，则f(0)0；(logax)xlna；加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；曲线yx2在(0,0)处没有切线解析：因为f(x)，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；(logax)logae，故错误；瞬时速度是位移s(t)对时间t的导数，故错误；yx2在(0,0)处的切线为y0，故错误答案：07已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程为_解析：yx2的导数为y2x.设切点为(x0，y0)，则y|xx02x0.又PQ的斜率k1，切线平行于PQ.ky|xx02x01，x0，切点为(，)切线方程为yx，即4x4y10.答案：4x4y108设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99的值为_解析：点(1,1)在函数yxn1(nN*)的图象上，(1,1)为切点，yxn1的导函数为y(n1)xn，y|x1n1，切线是y1(n1)(x1)令y0得，xn.所以a1a2a99lg(x1x2x99)lg()lg2.答案：2二、解答题9求过曲线ycosx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程解：因为ycosx，所以ysinx.曲线在点P处的切线斜率是y|xsin.所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为，所以所求的直线方程为y，即2xy0.10求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离解：法一：依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)y(x2)2x，2x01.x0.切点坐标为(，)所求的最短距离d.法二：设与抛物线yx2相切且与直线xy20平行的直线l的方程为xym0(m2)由得x2xm0，其判别式14m0，m.直线l的方程为xy0.由两平行线间的距离公式得所求的最短距离d.法三：设点(x，x2)是抛物线yx2上任意一点，则该点到直线xy20的距离d|x2x2|(x)2，当x时，d有最小值，即所求的最短距离为.11经过定点(1,3)作直线l与抛物线yx2相交于A、B两点，求证：抛物线上A，B两点处的切线的交点M在一条定直线上证明：显然，如果直线l的斜率不存在，则它与x轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意故可设直线l的斜率为k，则其方程为y3k(x1)，它与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x2kxk30，因此，又因为y2x，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为2x1,2x2，切线方程分别为：