北师大版选修45 第二章 §1 1.2 一般形式的柯西不等式 学案.doc

12一般形式的柯西不等式对应学生用书p351一般形式的柯西不等式定理2：设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有：(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立2三维形式的柯西不等式定理2推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时，等号成立1类比二维形式的柯西不等式的向量式你能写出一般形式的柯西不等式的向量式吗？提示：设(a1，a2，an)，(b1，b2，bn)，则|，当且仅当，共线时等号成立2在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件，记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？提示：不可以，若bi0，而ai0，则k不存在对应学生用书p36利用柯西不等式证明不等式例1设a，b，c为正数，求证：abc.思路点拨本题考查柯西不等式在证明不等式中的应用，考查不等式的性质及推理论证能力、代数式的变形求解能力解答此题，需要构造两组实数，满足柯西不等式的结构特征是关键精解详析由柯西不等式得()2()2()22.于是(abc)(abc)2，即abc.利用柯西不等式证明不等式的关键是根据待证不等式的结构特征，对其进行代数式的恒等变形，通过“拆分”“拼”“合”等构造两组实数，使其满足柯西不等式的结构后证明之结合本例证明过程和结果，求证：对实数a1a2，an，和正实数b1，b2，bn.有：.证明：(b1b2bn)2(a1a2an)2.b1，b2，bn为正实数，b1b2bn0.1已知a，b，cr，求证：9.证明：由柯西不等式，知左边2(111)29.原不等式成立.利用柯西不等式求最值例2已知x22y23z2，求3x2yz的最小值思路点拨本题考查柯西不等式等基础知识，考查变形求解能力解答此题利用x22y23z2，构造柯西不等式，再利用公式得出取值范围，从而求得最小值精解详析(x22y23z2)2(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12，23x2yz2，当且仅当x29y281z2，即x，y，z时取“”3x2yz的最小值为2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件2设2x3y5z29，求函数u的最大值解：根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，故2.当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时等号成立，此时umax2.考查一般柯西不等式在最值中的应用，是高考及模拟对本课时内容的常规考法，近几年各省市的模拟题多次出现应用柯西不等式求最值的应用题，将是今后高考对本内容的一个考查方向考题印证等腰直角三角形aob的直角边长为1.如图所示，在此三角形中任取点p，过p分别引三边的平行线，与各边围成以p为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时p的位置命题立意本题考查柯西不等式在解决实际问题中的应用，考查应用所学知识分析解决实际问题的能力自主尝试分别取oa，ob为x轴、y轴，则ab的方程为xy1，记p点坐标为p(xp，yp)，则以p为公共顶点的三个三角形的面积和s为sxy(1xpyp)2，2sxy(1xpyp)2.由柯西不等式，得xy(1xpyp)2(121212)xpyp(1xpyp)2，即2s36s1，所以s.当且仅当时，等号成立，即xpyp时，面积s最小，且最小值为smin.对应学生用书p37一、选择题1已知w2x2y2z2f216，则f8wxyz的最大值为()ab.c. d.解析：|f8|wxyz|2，两边平方后得：0f.答案：c2设实数a，b，c，d，e满足abcde8，且a2b2c2d2e216，则e的最大值是()a. b.c5 d16解析：由已知，得abcd8e，a2b2c2d216e2，所以(8e)2(abcd)2(a2b2c2d2)(12121212)4(16e2)，当且仅当abcd2或时等号成立化简得5e216e00e，所以emax.答案：a3设a1，a2，an为正实数，p，q，则p，q间的大小关系为()apq bpqcpq dpq解析：(a1a2an)n2，.即pq.答案：b4设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()a. b.c. d.解析：由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.答案：c二、填空题5已知(x1)2(y2)24，则3x4y的最大值为_解析：根据柯西不等式得(3242)3(x1)4(y2)2(3x4y11)2，(3x4y11)2100.可得3x4y21，当且仅当时取等号答案：216设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_.解析：由柯西不等式，得2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2302.当且仅当k时取“”，由k2(x2y2z2)22536，解得k所以k.答案：7(湖南高考)设x，y，zr，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.解析：根据柯西不等式可得，(x2y2z2)(122232)(x2y3z)214，所以要取到等号，必须满足，结合x2y3z，可得xyz.答案：8边长为a，b，c的三角形，其面积为，外接圆半径为1，若s，t，则s与t的大小关系是_解析：s，即abc1，所以tabbcca，则t2(abbcca)()2s2，当且仅当abc1时等号成立又因为a，b，c0，所以st.答案：st三、解答题9已知abc1，且a，b，c是正数，求证：9.证明：左边2(abc)()(ab)(bc)(ca)(111)29，当且仅当abc时取等号，9.10设x，y，zr，且1.求xyz的最大值和最小值解：根据柯西不等式，知42(