纳米材料的非线性动力学研究.doc

电激励作用下的碳纳米管谐振器的非线性动力学研究摘要本文做的工作就是研究了悬臂和简支的碳纳米管在交流电和直流电激励下的非线性动力学行为。研究碳纳米管的方法之一是利用欧拉伯努利梁模型即考虑几何非线性和静电力的非线性。另一种方法采用根据伽略金方法获得的降阶模型可以来模拟碳纳米管的静力和动力响应。自由振动问题和控制碳纳米管运动的平面与非平面耦合的边界值问题都可以利用降阶模型求解。用这两种方法求解复杂的分子动力学模型问题得出的数据结果显现的很好吻合。动力学分析就是研究碳纳米管外激励频率接近其固有频率、一倍半关系、两倍甚至三倍关系时的非线性振动。非线性分析即利用试点法结合Floquet理论来研究其稳定性。得出非线性共振频率是关于交流电荷载的函数。碳纳米管在较宽的频率范围发生低谐共振是其专有的特性。结果表明：这些共振可以导致复杂的非线性动态现象如迟滞现象、动态吸合现象、软化和硬化行为、存在势阱逃脱的频率带等。前言自从文献【1】做了一些关于碳纳米管探究工作后，碳纳米管开始吸引了全世界的研究者的兴趣来探究它独有的力学和电学特性。接下来文献【2】做的一些工作研究就是探索了碳纳米管在应用程序和设备的有效应用尤其在纳米机电系统装置的应用。尽管在测试碳纳米管在纳米机电系统应用方面取得一些进展，但随后遭到主要来自动力学相关方面等障碍的严峻挑战。例如在弱静电力荷载作用下的所表现的非线性行为、较低的品质因子、共振现象的额外发现以及缺乏针对在临界电势下固有频率的依赖性现象的解释。在过去几年，怎样估算碳纳米管的共振频率一直是该研究领域的焦点。这是因为都是在利用碳纳米管作为谐振传感器的基础上来精确预测其共振频率。除此之外，结合实验测量的共振频率与理论估算来提炼出碳纳米管的力学性能也是一种有效地方法，例如文献【5，6】得出其杨氏模量。从文献【3】中，Postma等人做的一些研究工作看，研究碳纳米管纳米机电系统的谐振器的非线性领域研究几乎是一种必然趋势。除了预测其共振频率的不确定性，还有在研究非线性时碳纳米谐振器在简谐电荷载激励作用下，其稳定性会遭到破坏发生一些现象如跳跃、迟滞现象和动力吸合现象。简支的碳纳米管由于其凭借其高固有频率在谐振器与传感技术的应用前景，因此在这方面做了许多工作。大部分建模工作主要集中研究简支碳纳米管的静力响应（线性和非线性）和自由振动（固有频率）。Postma等人【文献3】建立简支碳纳米管非线性模型利用伽略金方法求解，得出结论：碳纳米管在线性状态几乎一无所用。Bak等人【文献7】测试简支碳纳米管在交直流电激励下的响应，发现含AL元素制造的一些碳纳米管在该激励作用下非线性弱化。Pool等人【文献8】和Witkamp等人【文献9】对简支碳纳米管做了建模和模拟工作，建立梁模型并考虑中面延伸，展现相对直流电作用下的固有频率的变化。Daquesnes等人【文献10】利用分子动力学和连续模型研究了简支碳纳米管的吸合现象及固有频率（包括中面延伸）和悬臂情况，他们发现非线性连续模型与分子动力学模型得出的结果显示很好的吻合度。Lefevre等人【文献11】利用原子力显微镜（AFM）技术得出的杨氏模量计算了在直流电激励下的简支碳纳米管的变形，同时他们利用非线性梁理论模拟了其静力行为响应。Sapmaz等人【文献12】在假设直流电荷载为常数的情况下依据非线性简支梁的控制方程研究不同电荷载作用下的碳纳米管的静力响应和自由振动。Dequesnes等人【文献13】利用分子动力学和线性梁理论在静电力作用下研究了碳纳米管转换器的吸合现象和静力响应，并研究了范德瓦耳斯力的影响，发现当（碳纳米管与基板的）距离超过4纳米情况下其影响不可忽略。Peng等人【文献14】和Li、Chou等人【文献15】测出了简支碳纳米管的共振的高阶频率。Peng等人【文献14】利用线性欧拉-伯努利梁模型计算了其共振频率和质量因子。Greaney和Grossman【文献16】利用分子动力学模型模拟了相邻碳纳米管谐振器的能量传递过程。Rabierad等人【文献17】呈现了简支碳纳米管谐振器的制造过程以及测试其在交直流荷载作用下的响应。Babic等人【文献18】研究了简支碳纳米管的热力振动响应。Sazonova等人【文献19】利用实验方法研究了简支碳纳米管在交直流荷载作用下的响应并计算实验中直流电势作用下的频率质量因子。Garcia-Sanchez等人【文献20】也对简支碳纳米管做了建模和实验，利用梁模型计算其交直流作用下响应模态和频率，并与实验测得结果进行了比较，发现实验与理论结果有很大的差异。Ke等人【文献21】和Pugno等人【文献22】利用非线性弹性梁方程对简支碳纳米管静力响应做了非线性分析。但模拟简支碳纳米管非线性行为方面的工作还是很少涉及。在这个方面做的为数不多的工作，如Ke和Espinosa【文献23，,24】做了关于悬臂及简支碳纳米管静态状态下的建模工作。Ke等人【文献25】从理论和实验上研究了考虑电荷集中、范德瓦耳斯力和大刚度影响的情况下悬臂碳纳米管的静态行为响应。Liu等人【文献26】对悬臂碳纳米管做了非线性（考虑三次几何非线性）的建模工作。其他关于悬臂碳纳米管做为潜在性的新颖的装置也做了许多工作。如Kim和Lieber【文献27】从实验方面展现了由两个悬臂碳纳米管做成的纳米管镊子在电激励作用的响应，并从理论得出在直流电荷载作用下的静力变形量，并与实验结果进行了对比。Poncharal等人【文献28】做了有关悬臂碳纳米管在交流电激励下的响应测试工作，并绘出了相对于直流电和频率下的幅值曲线。Wang等人【文献5】和Gao等人【文献6】研究了悬臂碳纳米管在交直流电激励作用下的响应并利用电子移动显微镜技术监测了其运动行为，从而得到了一些其力学和电学特性。Krishnan等人【文献29】通过测量悬臂碳纳米管的热力振动响应得出了其的近似刚度。Dujardin等人【文献30】从实验上证明了悬臂纳米管的吸合和排斥现象。Isacsson和Kinaret【文献31】模拟了一组悬臂纳米管在交直流电激励下的参数激励响应。1.1在电激励作用下结构响应的背景。纳米微机电系统主要受平行平面的静电力作用。在这种方法下，在上下电极施加直流静电荷载Vdc，这种电极是一种典型灵活的结构如碳纳米管。假如Vdc比较小的话，这结构在某个变形位置处于平衡，这时结构的弹性力与其反向的静电力平衡。这里存在一个上限Vdc，超过这个极限结构的弹性力不再与反向的静电力平衡，这导致了结构发生突然的崩塌，即处于吸合不稳定状态。一个典型特征是直流荷载会软化激励结构，并使其线性固有频率降低【文献32】。而碳纳米管却可能在直流荷载作用下发生软化或硬化行为，这个将在第五部分介绍。除此之外，共振传感器和谐振器可以在直流荷载叠加载交流谐波幅值为Vac的荷载上发生激励反应。因此，直流荷载Vdc使电极在新平衡位置发生轻微移动而交流荷载Vac使电极产生振动。如果Vac低于发生动态吸合现象的临界荷载，则结构处于非线性状态，如简支碳纳米管可以发生软化或硬化行为（主要取决于静电力的二次非线性项和几何三次非线性项哪个占主要因素。）交流荷载Vac影响使共振频率的发生迁移，即非线性共振频率【文献33-35】。当碳纳米管同时受叫直流荷载作用下测量其达到最大幅值的共振频率，即非线性共振频率。它的大小取决于一些参数，包括系统的非线性、交流幅值、直流荷载。当在碳纳米管尝试超过其的噪声幅度或热噪声【文献3,18,29】，Vac幅值也可能被提高以至于引起动态吸合的不稳定性【文献35,36】。动态吸合相对于静态在较低的电势也能被诱发。到目前为止，还没有针对研究较大电激励作用下的碳纳米管响应的工作。动态吸合现象也没有研究。如果不能正确地认识碳纳米管谐振器的动态稳定性问题，则应用该科技理论的可靠性装置也将成为问题。1.2文章的主要目标。这篇文章的主要目的就是利用数值方法和方法论预测和模拟碳纳米管受由小到大幅值变化的交直流电荷载激励下的动态响应。我们将利用数值方法准确地计算考虑几何非线性、交直流荷载的非线性情况下的简直、悬臂碳纳米管的共振频率。通过把由恰当的模型得出的结果与实验测量的结果相结合，然后依次精确校准和预测碳纳米管的力学性能。然后，我们将呈现对碳纳米管谐振器在大幅值交直流荷载作用下的动态响应所做的一些较深的研究。发现谐振器的稳定态是关于频率和交流荷载幅值的函数。这种稳定状态可以增强对碳纳米管在谐振器实践应用方面以及局限性的认识。这篇文章的思路如下：首先，建立碳纳米管受电激励下的降阶模型；其次，利用各种方法解决不同直流荷载值激励下的碳纳米管的自由振动问题以此来预测其固有频率；然后，利用成像技术解决不同大小交直流幅值激励下的碳纳米管的非线性响应问题，以及猜测在交直流作用下的碳纳米管可能发生二次共振。2 问题阐述在这部分，我们将阐述电激励作用下的碳纳米管谐振器的静态和动态响应问题。考虑其边界条件是两端简直的梁如图1（a）和悬臂梁1（b）。碳纳米管受通过其下面与之相距为d的电极产生的激励。利用欧拉伯努利梁模型，其截面半径为R、长度为L和质量因子为Q。横截面积面积，截面惯性矩，固有频率（在简直的情况下为4.73，在悬臂的情况下为1.875），阻尼系数。并假设其杨氏模量 TPa 和密度。 图一简直和悬臂的碳纳米管谐振器的运动方程，如图1（a）和悬臂梁1（b），如下【文献10,13,21-25,32,38,39】： （1）其中为空气介电常数，几何非线性项在简直和悬臂碳纳米管的情况下分别表示如下： （2） （3）简直碳纳米管的边界条件是， ， （4）而简支碳纳米管的边界条件是， ， （5）由于范德瓦耳斯力的影响只是在碳纳米管与基本的距离处于某些量级【文献13】时才明显，因此在这里忽略其影响。在5.2节部分我们将展现模拟结果，包括范德瓦耳斯力的影响。为了方便，我们引进如下无量纲变量： ， （6）这里T是定义的时间常数。下面我去掉其上标，考虑边界条件情况下的简直和悬臂碳纳米管的无量纲化运动方程分别表示如下： （7）， ， （8） （9）， ， （10）其中，和 （11）3 降阶模型为了模拟碳纳米管的响应，利用伽略金方法对方程（7）-（10）进行离散得到降阶模型（ROM）【文献33,34】，因此碳纳米管的变形可以近似表示如下 （12）其中是直梁的无阻尼状态下的线性正交的模态，是无量纲的模态坐标。为了获得ROM，我们将方程（12）代入方程（7）-（11），然后乘以，利用模态正交性条件再从0到1积分就得到关于模态坐标的微分方程。为了模拟动态响应，对获得ROM模态利用数学Runge-Kutta方法【文献41】对时间积分。作为例子，假设一阶模态，针对简直碳纳米情况下描述的模态方程可以表示为 （13）这里 ， （14） （15）关于获得的降阶模型在这里做几点关键要点的说明。不想微机电系统情况那样，由于利用了模态正交条件后模态仍然保留在平方项和反余弦函数项，所以在方程（7）或（9）中如果乘以静电力项中的分母后这里就不具备进行数值模拟的条件。为了处理由静电力引起的复杂积分项，我们对含有的项进行关于空间区域的数值积分，同时利用梯形法对微分方程中模态坐标进行关于时间的积分。为了计算碳纳米管的静变形，在ROM方程中所有与与时间有关的项都设为0，然后模态坐标用未知常系数代替，则原方程化为关于系数的非线性代数方程。然后可以利用牛顿-拉夫方法进行数值模拟。4.静态分析我们对碳纳米管多种情况进行的模拟如表1。我们首先考虑的是ROM方法解的的精确度。图2展现了针对表1第2种情况取一阶、二阶、三阶镜像模态时简支碳纳米管在变化的直流荷载作用下的最大标准化的静态变形。由图可以得知，取一阶模态的到结果也是可接受的近似解，这个结果说明碳纳米管和微观力学梁【文献40】存在明显的差异，当为了更好的逼近精确解至少取三阶镜像模态。一个可能的合理的解释是碳纳米管高刚度的存在可能使相对于一阶模态的高阶模态弱化。接下里，我们将通过取一阶模态得到的结果与Pugno等人【文献22】利用有限元差分法模拟得到的结果进行对比来验证结果。接下来，我们首先在假设线性梁模型考虑碳纳米管简支情况（不考虑中面延伸）与Ref等人得到的结果【文献22】进行对比。图3（a）展现针对表1第1、2情况下结果，可以看到我们的结果与Ref等人得到的结果吻合地很好。除此之外，我们也看到了平衡解的不稳定分支，发现在动态中不稳定和稳定的分支相交。还值得注意的时候当标准的静变形达到0.46时发生吸合现象，相当于线性情况下静电力激励作用时的0.33。这可能与碳纳米管的几何形状以及存在静电力场和平行板的矩形电容的影响有关。接下来，我们考虑中面延伸情况进行模拟并与Ref等人非线性模型得到的结果【文献22】进行对比。如图3（b）所示，表现 很好的很吻合度，进一步证实ROM方法得到的结果的合理性。对比图3（a）与（b），发现中面延伸对预测碳纳米管的吸合临界电势有重要影响。还注意到吸合现象发生在，对比考虑矩形截面受静电力激励的微观梁的非线性情况时【文献33,40】却发生在。表2展现了针对表1考虑线性梁与非线性梁两种情况下得出的吸合临界电势。从这个表我们可以看到，利用线性理论预测碳纳米管的响应得到的误差不容忽视的。接下来，我们得出碳纳米悬臂情况下的结果。如图4（a）和（b），针对碳纳米管悬臂情况下通过对比Refs等人【文献25,42】的实验结果可以知道有取一阶降阶模型得到的结果是合理的。由图可知，悬臂情况下的碳纳米管最大的标准静变形为。这降阶模型考虑了碳纳米管悬臂情况下的几何非线性。在图4（a）和（b）中，分别考虑表1中的第4、5种情况。实验测得第4、5种情况的临界吸合电势分别为2.33V【文献42】和48.26V【文献25】，而利用降阶模型得到结果分别是2.31V和48.26V。由此可见，实验数据与降阶模型得到的结果很吻合。由此推断，悬臂情况下碳纳米管的几何非线性影响弱于简支情况下的。5.在直流电荷载下的自由振动问题5.1数值模拟方法。预测碳纳米管的固有频率和静电力临界电势对他们在谐振器应用以及校准中是非常重要的工作。在这部分，我们将利用两种有效的方法来解决这个问题。首先，我们利用第3部分的降阶模型，用这种方法可以求得各种直流电势状态的碳纳米管的将变形。对于给定的电势，我们将第4部分求解稳态方程获得稳态解代入降阶模型的雅可比矩阵，然后即可求得其特征值。利用每一个单独的特征值大小即可求得系统的固有频率。第二种方法通过数值方法求解边界值问题，方程（1）可以使用软件如matlab。这种方法相对降阶模型获得结果更准确，后者更近似原问题而后者更能准确的处理问题。这种方法针对悬臂情况下可以直接应用方程（1）和（3），也可以结合拍摄技术反复叠加方程（2）的积分项应用简支情况下的方程（1）和（2）。然而，这种方法针对简支碳纳米管考虑中面延伸的情况下出现解的收敛问题。为了解决这个问题，我们对方程（1）把控制平面和非平面的方程分离，然后求解系统的耦合问题。因此，有相对于梁轴线的横向非平面运动和沿着梁长度方向的平面运动。接下来，我们重新获得两个耦合的偏微分方程，控制这横向位移和轴向位移，即梁的变形【文献44,45】。 （16） （17）关于和的边界条件分别为， ， ， （18）由于在轴向的固有频率远大于横向的，我简化方程关于分量的惯性项，得到方程： （19）方程（16）和（19）可以同时求解位移和位移。利用方程（6）无量纲化变量以及去掉上标即得到 （20） （21）其中，和由方程（11）给出，我们分离相对于直流电势作用下的静变形，分别记为，则动态分量记为，可以表示为 （22） （23）把方程（22）和（23）代入方程（20）（21），忽略交流激励项，仅保留线性项，得到描述碳纳米管简支情况下的小自由振动关于的方程。 （24） （25）为了特征值问题，我们让 （26） （27）这里的和分别表示横向和轴向的特征函数，是无量纲的固有频率。把方程（26）（27）代入方程（24）（25）求解方程即可得到模态函数和以及相应的固有频率。5.2 结果。接下来，我们利用第3部分取降阶模型的一阶模态计算固有频率，然后与直接通过求解边界值问题的结果进行对比。在图5中，我们利用两种方法求解针对表1情况2下碳纳米简支情况下的第一阶固有频率并比较其偏差。我们从图推断降阶模型的一阶模态收敛而且使碳纳米管的响应非常接近吸合的不稳定性。图6（a）描述了利用降阶模型得到的固有频率和Dequesnes等人【文献10】针对长度为10nm、半径为0.9nm、基距3nm情况下的碳纳米管的计算结果。图6（a）知固有频率首先随着直流电势小变化缓慢减少，然后受中面延伸的影响而增加，接着突然很快地降为0接近吸合。从图中可以看到，这模型在固有频率增加和减少为0至接近吸合的过程中变现很强的鲁棒性。这图也表明这数据与Dequesnes等人【文献10】利用分子动力学模型得到的结果很吻合。因为这种情况下的基距太小（3nm），以至于范德瓦耳斯力对结果有很大的影响文献10】。为了研究这种影响，在梁方程中增加范德瓦耳斯力项，即【文献10，46】： （28）这里是碳纳米管与基板的距离，是两个碳原子之间相互作用的特征常数，是基板的面密度。通过应用章节3和5.1的方法在方程（28），我们可以求得静电力和范德瓦耳斯力作用下的固有频率。图6（a）比较存在或不存在范德瓦耳斯力情况下结果，发现在这种情况下的范德瓦耳斯力的影响可以忽略。图6（b）展现了碳纳米管简支情况下的另外一种情况，即长度为20.7nm、半径为0.9nm，基距为1nm。图中也比较了降阶模型求解的结果与Dequesnes等人【文献10】考虑或不考虑范德瓦耳斯力两种情况下的结果，可以发现所有的结果吻合的比较好，在这种情况下，从图可以看到范德瓦耳斯力对改变固有频率和吸合临界电势有明显的影响。值得一提的是从计算观点上来看，降阶模型求解结果所需的工作量相对于Dequesnes等人利用分子动力学求解要少。图7展现了针对简支碳纳米管分别对应于表1中1、2、3情况下所得到固有频率的偏差。从图中可以看到，对所有考虑的情况，这固有频率会随着静电力荷载增大也增到更大的值，然后当吸合现象发生时就降为0。这是由于相对于静电力的影响，中面延伸的影响占主要因素。这个与Ref等人【文献19】得到的实验数据一致。从图7可以推断碳纳米管的两个参数（长度和半径）可以调整这样当电势达到一定值后而不再随其变化的固有频率的值（看情况3的曲线）。这种特殊的性质在碳纳米管谐振器的应用上有广泛的应用前景。最后将通过展现悬臂碳纳米管在直流电势作用下的固有频率的偏差结束这小节。由于几何非线性在这种情况影响不大而是静电力荷载占主要因素，因此碳纳米管经历柔化响应。图8展现了表1中第4情况下悬臂碳纳米管的模拟结果，我们发现固有频率单调递减直至在为零到吸合。6 交直流电下动态响应在这部分，我们将利用数值方法获得碳纳米管受由小变大的交直流荷载作用下的响应结果。小电流荷载的响应对精确预测共振频率有很大影响，这种共振频率可以通过实验测量。对大电流荷载作用下的分析目的是让在碳纳米管谐振器的稳定和可靠状态下发光。这里还展现一些有意思的非线性行为和共振现象，这在碳纳米管的传感和激励方面有应用前景。6.1 固有模态的初始响应。在这里，我们将模拟靠近固有频率的在直流电叠在在谐波交流荷载作用下碳纳米管的频率响应（初始共振激励）。在动态分析中，对降阶模型运动方程进行时间的无穷大积分。这种方法在靠近分叉不稳定状态出现解是否收敛问题，在一般情况下并没考虑鲁棒方法来研究非线性振动。因此，采用第二种方法，也叫试点法【文献47】。这种方法是用来找到周期解、分析稳定性以及确定和查找分叉点的数值法，这种方法结合Floquet理论可以研究俘获的周期轨道的稳定性。首先我们研究针对小直交流电荷载作用下碳纳米管的响应（如图9和10）。在所有附随其后的图像，这虚线代表不稳定的解。图9展现的是简支情况下碳纳米管对应表1第二种情况下的频率响应曲线。这图形对依据一阶近似模态的试点法得到结果与取降阶模型一阶二阶模态对时间无线积分得到的结果进行对比。图也验证了针对动态模拟的降阶模型的收敛性和一阶模态产生足够精确的解。图9展现了在小电荷载作用下的简支纳米管的硬化行为，而这荷载小于吸合电势（50.7V）。这也说明另外一种即简支纳米管的中面延伸影响是主要因素。图10展现了悬臂碳纳米管对应于表1第四种情况下的频率响应曲线。这图也展现了即使对大交流值Vac情况下也存在微弱的硬化行为。接下来，我们通过模拟和试点法展现这共振频率的迁移【文献34】，这种共振频率可以通过实验定量地测出来，并且受交流幅值AC的影响，相对于线性固有频率仅依赖直流电势DC。图11（a）和（b）展现了针对不同交直流荷载值激励作用下分别相应于碳纳米管简支、悬臂情况下标准非线性共振频率的偏差。我们发现针对碳纳米简支情况下在硬化行为时共振频率值随着交流荷载值一致的增加，而对于碳纳米悬臂情况下在软化行为发生微小的降低。由此推断，简支碳纳米管体现的强硬化行为在线性区域却几乎没有，这与Postma等人【文献3】观察结果是一致的。接下来，我们研究针当直流荷载值增到25V时图9碳纳米管的情况，在图12中，也展现了硬化行为。除此之外，从图看以看到频率响应曲线的上支是不闭合的以及在激励频率接近28时通过鞍结点时失去了稳定性，这时它的坡度接近无限长以及Floquet系数接近一个单位。这说明了在微观简支梁也发现了动态吸合现象【文献36】。随着直流电势的进一步增加，碳纳米管的频率响应仍然保留硬化行为直到达到静态的吸合电势（它并不会反向表现柔化行为，这是和微机电系统的微观梁【文献36】是一样的）。这是因为在这种考虑情况下，中面延伸的影响相对于静电力的影响是占主要因素的，但除吸合点之外。这似乎是碳纳米管相对于其他结构的独有特性。为了说明柔滑行为，我们选择另外一种情况研究，即表1的第三种情况，这是中面延伸影响比较弱。因此在达到稳态吸合现象之前的直流荷载作用下，静电力的非线性相对于中面延伸占主要因素。如图13结果所示，动态吸合通过倍周期分叉，此时Floquet系数达到-1【文献36,40】。图13也展示了在频率宽带处系统没有稳态解，这个宽带被称为不可避免逃离宽带【文献48】，此时共振器被迫逃离势阱。在这种情况下，碳纳米管摆脱吸合状态。在这种请款下如果进一步增加交流荷载值会导致更大的频率逃离宽带。我们利用试点法求解针对不同交流电势及频率情况下的初始响应的碳纳米管的逃离宽带（不稳定势头）。图14（a）和（b）分别展现了表1情况2在Vdc=25V（硬化行为）和表1情况3在Vdc=100V(柔化行为)的结果。发现谐振器在不稳定状态下发现明显的吸合现象。从图还可以看到假如交流幅值增大，这逃离宽带范围也扩大。最后在这部分研究一下碳纳米管在悬臂情况下的响应。在这种情况，由于几何非线性弱影响和静电力非线性的强化影响因素，频率响应曲线一直表现硬化行为。图15展现了碳纳米管谐振器对应了表1请款4下的频率响应曲线。这图也展现了动态吸合在倍周期分叉时这Floquet系数越过单位环到达-1.6.2 固有模态的二次共振。二次共振出现非线性系统在外部激励如静电力【文献35】和磁场力作用下所发生的响应。这些共振对系统行为有很大的影响。这部分探究碳纳米管的在2倍（激励频率为固有基频率的一半）的超谐共振以及1/2倍，1/3倍（激励频率接近固有基频的两倍、三倍关系）的低谐共振的响应。图16展现了简支碳纳米管对应表1情况2下受基频2倍超谐共振的激励作用下基准模态的响应。这图说明了硬化行为以及与接近图12主共振表现类似的行为。还可以注意到，这图表明通过曲线上支分叉的鞍结点处发生了动态吸合现象。现在，我们探究同种情况下的碳纳米管的低谐共振响应。值得注意的是低谐共振的发生需要超过交流荷载值和质量因子的某个极限值。我们分别Vdc=20V、Vdc=1.2V频率为基频的两倍时激励，发现1/2倍的低谐共振发生了。继续增加交流荷载值到16V时发生动态吸合现象，如图18所示。图16-18说明了2倍、1/2倍的二次共振是由于系统含有频率二次方的静电力的影响。那么考虑为频率三次方的中面延伸的影响，有可能激发3倍、1/3倍的二次共振，这种情况在图19可以看到。这曲线经历动态吸合现象通过由Floquet系数达到一个单位所体现出来。从图17-19可以看到低谐共振在一定宽的频率范围处都可以被激发。这在碳纳米管和微机电系统梁（它的低谐共振只在狭窄的频率范围中才能被激发）中有很大的差异。接下来，我们利用试点法按照主共振情况一样计算不同交流电势和频率情况下1/2倍低谐共振的不可避免的逃离频率宽带。图20（a）和（b）分别展现了相应于表1情况2、3的结果。为了说明随着交流电势的增加其逃离宽带范围的扩大，图20（a）不稳定的点的上下限范围的频率响应曲线分别在图21（a）（b）体现出来。接下来，我们展现了碳纳米管在悬臂情况下的低谐响应。图22描述了1/2倍低谐共振的基准模态的柔化行为。这曲线也展现了由倍周期分叉情况下的动态吸合现象。7 结论在这文章中，研究了受直流荷载和谐波交流荷载作用下的碳纳米管的非线性的动态响应。利用降阶模型计算不同直流电势值情况下的碳纳米管的基频，这结果通过与其他人直接求解碳纳米管的边界值问题得到的结果进行对比验证结果的合理性。我们的方法也体现了计算的科学性。范德瓦耳斯力对碳纳米管的基频的影响也被研究，并且发现当基距很小时对其有很大的影响。利用试点法，关于交流谐波幅值的函数的碳纳米管的非线性共振频率也计算了，结果表明：即使在很小的交流幅值的作用下，相对于简支碳纳米管的非线性频率的情况，共振频率有着明显的迁移。这表明在非线性领域利用这些碳纳米管作为谐振器的可能性是很大的，因此非线性理论需要完善其建模放和模拟方法。我们对碳纳米管在大交直流幅值激励下的接近主共振和二次共振（超谐和低谐）情况下的非线性共振做了动态分析。结果表明，这些共振引起了复杂的动态现象如迟滞、动态吸合、硬化、柔化行为等。从求得的结果也表明对某个具体的交流荷载值，主共振和低谐共振出现逃离频率宽带，并使碳纳米管谐振器发生不可避免的逃脱形成动态吸合。纳米机电系统的设计者应该意识到这种逃脱宽带从而确保碳纳米管谐振器的可操作性。我们推断简支纳米管的中面延伸对的行为响应有很大的影响。这个可以通过对比没有中面延伸情况下的结果体现其吸合电势的明显增大，在很大的荷载范围基频随着荷载的增加而增大以及碳纳米管的硬化行为在小交流谐波值下被诱发。除此之外，在整个交流电势达到稳态吸合电势临界值时，同时施加交流荷载碳纳米管表现单调递增的硬化行为。这表明相对于静电力，这中面延伸即使是接近吸合临界状态下也是主要影响因素。更进一步，我们发现相对于微机电系统中微观梁的发生低谐共振的频率范围，碳纳米管的要大很多。我们也看到了在1/3倍低谐共振的强烈响应。在这篇文章的最后，值得一提的是这篇文章并没有考虑松弛的影响（曲率）、弯曲以及碳纳米管的初始变形【文献19,49-54】。这个对稳定性、固有频率、吸合电势计算有很大的影响。感谢作者感谢来自纽约州立大学宾厄姆顿机械工程学院的Ke.C教授，感谢他提供关于碳纳米管的许多有益的建议和讨论。这篇文章获NSF资助，编号为0928494附录表一、碳纳米管的几何特性情况边界条件基距（nm）长度（nm）半径（nm）参考文献1简支100300020222简支100300030223简支100200030224悬臂39025005.45425悬臂3000680023.525表二、针对表一情况下计算的吸合电势情况吸合电势线性理论非线性理论118.6232.65237.4650.72382.47114.242.3092.31550.2048.26图二、针对表1情况2碳纳米管标准静变形随直流电势变化的趋势图：（）一阶模态，（）二阶模态，（*）三阶模态。 图三、简支情况下的碳纳米管的标准化的静变形随直流电势变化的趋势图，（a）没考虑中面延伸的情况下的变化图和（b）考虑中面延伸的。在图中：（）稳定的分支，（-）不稳定的分支和（）是Pugno等人【文献22】得到的结果。图四、悬臂情况下的碳纳米管的标准化的静变形随直流电势变化的趋势图，（a）表1情况4下变化图和（b）表1情况5的。在图中：（*）ROM（一阶模态，线性），（）ROM（二阶模态，线性），（）ROM（二阶模态，非线性），（）（a）、（b）分别为参考文献【42】【25】的实验结果。图五、基频正比零电势下的频率的比值随直流电势的变化趋势图，结果来源针对表1情况2的情况。在图中：（）ROM法取一阶模态得到的结果，（）直接求解边界值问题得到的结果。图六、简支情况下的碳纳米管的基频随直流电势变化的趋势图。（a）考虑长度20.7nm、基距3nm，（b）长度20.7nm、基距1nm。在图中：（）ROM法不考虑范德瓦耳斯力，（）ROM法考虑范德瓦耳斯力，（）Desquesnes等人【文献10】得到的结果。图七、标准化的基频随直流电势变化分别针对碳纳米管表1情况1（），情况2（*），情况3（）的趋势图。图八、针对悬臂情况下的碳纳米管的基频随直流电势变化