正交表列效应的约束条件检验.doc

正交表列效应的约束条件检验摘要本文运用正交表各列矩阵像的分解技术，将各列平方和分解成相互独立的若干部分之和。利用这些分解得到的部分平方和，不仅可以解决饱和模型的统计分析问题，还能够对列显著但某些子成分不显著的列增加新的约束条件。在正交设计领域，考察列效应的一般约束条件的检验问题是非常重要的。本文通过对一般约束条件进行转换，使其变成一个成分分解问题，再利用成分分解的相关结论，完满地解决了这一问题。关键词：正交表，约束条件，投影矩阵，矩阵像，饱和模型一、引言文1中给出了因子平方和的正交对照分解方法，该方法可以用于考查多因子方差分析。本文集中讨论采用正交表各列矩阵像的分解技术，将各列平方和分解成若干部分之和。由于正交表各列间的正交性与各列对应的矩阵像之间的正交性等价以及各个子矩阵像(见文中定义)之间的正交性，因此使得各个部分平方和之间保持了相互独立性。方差分析是正交设计不饱和模型中的重要方法之一，然而它对饱和模型几乎无能为力。对正交饱和模型，文5提出了非中心统计量和零效应搜索两种方法。本文利用分解得到的相互独立的部分平方和，通过构造相关统计量对饱和模型给出了一种新的统计分析方法零成分搜索法。此外，对饱和和不饱和模型中某些列显著但其子成分(见文中定义)不显著的列增加了新的约束条件。最后，本文考察了列效应的一般约束条件的检验问题。通过对一般约束条件进行转换，使其变成一个成分分解问题，再利用成分分解的相关结论，完满地解决了这一问题。二、统计模型按照正交表进行试验设计时，考虑主效应模型： (1)一般约束条件为：该模型可以记成向量形式： 对应自由度分解式为： 其中为第列自由度，记，从而约束条件可以变为：为元素全为1的维列向量。假设正交表各列对应的矩阵像依次为，总均值列对应的矩阵像为，这些矩阵像的定义见234。因此，由矩阵像的定义，有如下分解式： (2)对应的秩分解式为： 。以上两个分解式与模型对应。也是投影矩阵，为0时是饱和模型，非0时是不饱和模型。利用这些矩阵像，可以很方便求出各参数向量的最小二乘无偏估计值： （3）总平方和：，各列平方和：，残差平方和：。当正交表不饱和时，用这些平方和可以进行方差分析。三、列效应的成分分解由于矩阵像是投影矩阵，而对投影矩阵，其特征值为0或1；对应于其特征值1的线性无关特征向量个数为其秩；这些特征向量可以正交规格化，因此对秩大于1的矩阵像，可将其分解成个秩为1的投影矩阵。具体做法如下：先找出每个矩阵像对应特征值为1的正交规格化特征向量，从而有：. （4）再令，因此均为秩为1的投影矩阵，对模型参数，记，不妨称其为的子成分，而称为设计的第j列的子矩阵像。这样，。其中均为子矩阵像。根据这些子矩阵像，可以得到平方和，且。由柯卡伦定理，各平方和之间相互独立。正交表的每列都对应了一个参数向量和若干个子成分，如果某列对应的子成分中既有显著的又有不显著的，那么可以对这样的列增加一个约束条件，且该列自由度减少1，下面来具体推导一下约束条件的表达式。不妨假设第j列有不显著的子成分 (以后简称为零成分)，视为0，即，也即，这就是所要求的约束条件。由此不难发现，找出零成分是寻找约束条件的关键，后文将重点讨论如何识别零成分。四、不饱和情形对不饱和模型，由于有自由度对误差方差进行估计，因此可以应用方差分析的方法检验各列的显著性。本文将考虑各子成分的显著性检验问题： (5)可以构造统计量对其进行检验（原假设成立时）。五、饱和情形如果正交表是饱和的，此时没有自由度对误差方差进行估计。文57中提出利用零效应搜索法可以对正交饱和效应模型进行统计分析。本文基于该文的部分结论，利用分解得到的n-1个子成分对饱和模型进行统计分析，找出这n-1个子成分中的零成分，该统计分析过程称为零成分搜索。首先应该明确一点：零成分是一个相对的概念。统计意义上的零成分只是说把相对于其他子成分来说很小的那些子成分可以当作零成分来看待。假设这n-1个子成分都可以被看成零，因此这n-1个子成分独立同分布。将从小到大进行排序，得到n-1个次序统计量。依次用次序统计量构造统计量(可参阅文5)，步骤如下：(1)；(2)其中这样构造的统计量具有以下优良性质（证明参见5）：性质1：(1)；(2)性质2：(1)当固定时，关于为增函数；(2)当固定时，如果，那么关于为增函数，。按照上述构造的统计量，找出中第一个比相应统计量临界值(通过Monte-Carlo方法给出)大的那个。那么，之前的那些次序统计量相应的子成分都可以看作是零成分，其余都是非零成分(在统计意义上是否显著则要做进一步分析)。找到零成分之后，把这些零成分相应的次序统计量加在一起，除以零成分的个数，就得到误差方差的估计。然后，对剩下的非零成分，可以利用与不饱和模型时的相同方法构造统计量，进一步检验该非零成分是否显著。不妨假设前u个次序统计量相应的子成分为零成分，那么后n-1-u个次序统计量相应的子成分都是非零成分。因此，。从而对其他的非零成分，考虑假设检验问题(5)。构造统计量：在原假设条件下服从分布。由统计量的构造方法，它是一个关于递增的量，因此只要找出中第一个比临界值大的那个，之前的都是不显著的，剩下的都是显著的。在文57中构造检验统计量时，是假设至少有一个零成分，那么很显然假设第一个次序统计量对应的子成分为零成分。通过构造统计量，找出剩下子成分中的零成分(与第一个次序统计量对应的子成分大小相当)，那么剩下的子成分就是非零成分。在实际问题中，要遇到如下三种情况：(1)如果在这n-1个子成分中确实有零成分，那么其它非零成分与这些零成分之间必然有一定的差别，此时该方法是有效的；(2)如果n-1个子成分不存在零成分，也就是这些子成分之间不存在显著差异，而此时仍然假设最小的那个子成分(第一个次序统计量)为零成分的话，那么很有可能将所有的子成分也判为零成分；(3)如果这n-1个子成分都是零成分，也就是说所有的子成分之间差别不显著，那么此时根据第一个次序统计量相应的零成分，很有可能将其它子成分也判为零成分。对(1)，通过统计量可以识别零成分和非零成分；对(2)和(3)，利用相同的统计量必然会将所有的子成分识别为零成分。而在现实中，第（3）种情况很少考虑，这是因为在第三种情况出现时，统计上一般认为所有子成分之间不存在显著差异。既可以说它们是差别不显著的零成分，也可以说它们是差别不显著的非零成分。但零成分的提法是相对的，如果出现这种情形一律认为所有的子成分都是非零成分。因此，可以利用该方法对所有情形进行判别。如果某列对应的所有子成分都是显著的，那么该列是显著的，并且自由度没有变化；如果某列对应的所有子成分都是不显著的，那么该列就是不显著的，且自由度为0；如果某列对应的子成分中既有显著的又有不显著的，那么该列是显著的，但是该列会增加与不显著的子成分个数相同的约束条件，自由度也减少到显著子成分的个数。然而如果所有的子成分都是非零成分(此时所有列显著)，那么这时候只能寻求其他的方法来估计方差。六、一般约束条件的检验在大量模拟中发现，各列效应的成分分解形式与所选取的特征值为1的正交规格化特征向量有关。一组正交规格化特征向量对应了一种类型的约束条件。也就是说，假设第j列矩阵像的特征值为1的一组正交规格化特征向量为，那么其检验的约束条件就是是否成立。考虑一组新的正交规格化特征向量，那么其检验的约束条件就是是否成立。因此，如果对这组正交规格化特征向量做适当旋转(相当于选取一组新的正交规格化特征向量)，可以考察新的约束条件是否成立。应用工作者可能在试验之前对各列效应已有一定的了解，或者在试验之后根据参数估计值可能推断某些约束条件成立。这些约束条件给应用工作者提供了对参数进行进一步识别的信息。根据这些信息进行参数优化可以得到更加符合实际的结果。因此，寻找一种检验一般约束条件是否成立的方法是很有意义的。讨论第j列效应一般约束条件的假设检验问题： （6）其中为维非零列向量，不妨设。将转换成型的约束约束条件。转换的方法有很多，只要我们能够保证后一约束条件与前一约束条件等价即可。下面考虑最简单的一种转换方法：如果在中所有行中第一次出现，则对应行的元素取为中出现行对应的的元素，否则取为0。矩阵像的特征值为1的一组正交规格化特征向量为，不妨将其扩充到空间上的一组正交规格化基。因此存在一组不全为零的实数，使得。实际上，对该等式两边同时左乘，就可以得到。由于的最小二乘无偏估计为： ，即，又是投影矩阵，所以。令，将代入，由于，因此有： 令，检验与检验等价。如果全为0，那么恒成立，也就有恒成立，此时没有必要再对检验问题进行讨论；如果不全为0，那么由可以扩张成特征值为1的特征向量空间的一组基。将这组基规格正交化，得到。对该组规格正交化特征向量，利用列效应的成分分解技术，可以考察约束条件，其中是我们关心的，其与等价。因此，通过如上转换，可以将列效应的一般约束条件的检验问题转换成列效应的成分分解问题来处理。而对成分分解，前文已经论述，此处不再讨论。对多个约束条件的检验问题相当于为一个矩阵，此时可以将看成是几个列向量，分别对其进行检验。参考文献：1 孙法省，刘民千，因子平方和的正交对照分解及其应用J，应用数学学报，2007，Vol.30(No.4)，757-765。2 张应山，多边矩阵理论M，北京：中国统计出版社，1993。3 张应山，正交表的数据分析及其构造D，华东师范大学博士论文，2006。4Zhang，Y.S.，Lu，Y.Q. and Pang，S.Q.，Orthogonal arrays obtained by orthogonal decomposition of projection matricesJ，Statistica Sinica，1999，595-604。5 张晓琴，正交饱和效应模型的统计分析D，华东师范大学博士论文。6 张晓琴，正交饱和设计的统计分析J，应用概率统计，2007，23(1)，91-101。7 张晓琴，二水平正交饱和设计的统计分析-零效应搜索法J，华东师范大学学报(自然科学版) 2007，24(1)，51-59。Test of Constraint Equation in Column Effect of Orthogonal ArraysAbstractIn this paper we do decomposition to column effect by using orthogonal decomposition of matrix images. After this step, not only can we do statistics analysis about saturated model, but also we can get some new constraint equation if the column is significant but some decomposition is not significant. In orthogonal designs field, it is an important thing to test the general constraint equation of some column. In this paper, we perfectly sol