人教A版必修5 等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 学案.doc

第2课时等差数列前n项和的综合应用1掌握an与sn的关系并会应用(难点)2掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点)3会求等差数列前n项和的最值(重点、易错点)基础初探教材整理等差数列前n项和的性质阅读教材p44例3p45，完成下列问题1sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中，其前n项和为sn，则an中连续的n项和构成的数列sn，s2nsn，s3ns2n，s4ns3n，构成等差数列(2)数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数)3等差数列前n项和sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则s1是sn的最小值；若a10，d0，d1)，可知，当n1时，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a1s1121，也满足式数列an的通项公式为an2n.由此可知：数列an是以为首项，以2为公差的等差数列1已知前n项和sn求通项an，先由n1时，a1s1求得a1，再由n2时，ansnsn1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示2由数列的前n项和sn求an的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列再练一题1已知下面各数列an的前n项和sn的公式，求an的通项公式(1)sn2n23n；(2)sn3n2.【解】(1)当n1时，a1s1212311；当n2时，sn12(n1)23(n1)2n27n5，则ansnsn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此时若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)当n1时，a1s13121；当n2时，sn13n12，则ansnsn1(3n2)(3n12)3n3n133n13n123n1.此时若n1，an23n123112a1，故an等差数列前n项和的性质应用(1)在等差数列an中，若s41，s84，则a17a18a19a20的值为() a9b12c16d17(2)等差数列an共有2n1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于_(3)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为sn，tn，且，则_.【精彩点拨】(1)解决本题关键是能发现s4，s8s4，s12s8，s16s12，a17a18a19a20能构成等差数列(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解(3)解决本题关键是如何将an转化为用等差数列的前(2n1)项的和表示【自主解答】(1)由题意知：s41，s8s43，而s4，s8s4，s12s8，s16s12，s20s16成等差数列即1,3,5,7,9，a17a18a19a20s20s169.(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n1项，所以s奇s偶an1，即132120，解得n10.法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a1，公差为d.依题意可列方程组即所以，即n10.(3)由等差数列的性质，知.【答案】(1)a(2)10(3)再练一题2(1)等差数列an中，a2a7a1224，则s13_.(2)等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为sn，则数列的前10项和为_【解析】(1)由a2a7a1224，得a78，所以s1313a713104.(2)因为an2n1，所以a13.所以snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为310175.【答案】(1)104(2)75探究共研型等差数列前n项和sn的函数特征探究1将首项为a12，公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？【提示】首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为sn2nn2n，显然sn是关于n的二次型函数且常数项为0，二次项系数为，一次项系数为a1；如果一个数列的前n项和为sn3n2n，那么当n1时，s1a14.当n2时，ansnsn16n2，则该数列的通项公式为an6n2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列探究2已知一个数列an的前n项和为snn25n，试画出sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？【提示】snn25n2，它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前n项为负数由sn的图象可知，sn有最小值且当n2或3时，sn最小，最小值为6，即数列an前2项或前3项和最小数列an的前n项和sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和sn.【精彩点拨】(1)利用sn与an的关系求通项，也可由sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用sn的函数特征判断项的正负求解【自主解答】(1)法一：当n2时，ansnsn1342n， 又当n1时，a1s1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：由snn233n知sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an0.所以当n17时，snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2ansn33nn2.当n18时，sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)s17(sns17)2s17snn233n544.故sn1在等差数列中，求sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点3求解数列|an|的前n项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题再练一题3在等差数列中，a1023，a2522.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列|an|的前n项和【解】设等差数列an中，公差为d，由题意得(1)设第n项开始为负，an503(n1)533n，从第18项开始为负(2)|an|533n|当n17时，snn2n；当n17时，sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，sn2s17n2n884，sn1设an为等差数列，公差d2，sn为其前n项和若s10s11，则a1()a18b20 c22d24【解析】由s10s11，得a11s11s100，a1a11(111)d0(10)(2)20.【答案】b2已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()a5b4 c3d2【解析】由题意得s偶s奇5d15，d3.或由解方程组求得d3，故选c.【答案】c3已知数列an的前n项和snn2，则an_.【解析】当n1时，a1s11，当n2时，ansnsn1n2(n1)22n1，又因为a11适合an2n1.所以an2n1.【答案】2n14数列an为等差数列，它的前n项和为sn，若sn(n1)2，则的值为_【解析】等差数列前n项和sn的形式为snan2bn，1.【答案】15已知数列an的前n项和公式为sn2n230n.(1)求数列 an的通项an；(2)求sn的